1. 为抗洪需修筑一坡度$i = 1:\frac{4}{3}$的大坝，如果此大坝斜坡的坡角为$\alpha$，那么$\alpha$的正切值是 (
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
D
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案：1.D
解析：
坡度$i = 1:\frac{4}{3}$表示斜坡的铅直高度与水平宽度的比为$1:\frac{4}{3}$，则坡角$\alpha$的正切值$\tan\alpha=\frac{铅直高度}{水平宽度}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$。
D
D
2. 如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为$5 m$。若在坡度$i = 1:2.5$的山坡上种树，也要求株距为$5 m$，则相邻两树间的坡面距离为
(
A.$2.5 m$
B.$5 m$
C.$\sqrt{29} m$
D.$10 m$
(
C
)A.$2.5 m$
B.$5 m$
C.$\sqrt{29} m$
D.$10 m$
答案：2.C
解析：
设相邻两树间的垂直距离为$h\ m$，水平距离为$l\ m$，坡面距离为$d\ m$。
已知坡度$i = 1:2.5$，即$\frac{h}{l}=\frac{1}{2.5}$，且株距（水平距离）$l = 5\ m$。
由$\frac{h}{5}=\frac{1}{2.5}$，得$h = 2\ m$。
根据勾股定理，$d=\sqrt{l^{2}+h^{2}}=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}\ m$。
C
已知坡度$i = 1:2.5$，即$\frac{h}{l}=\frac{1}{2.5}$，且株距（水平距离）$l = 5\ m$。
由$\frac{h}{5}=\frac{1}{2.5}$，得$h = 2\ m$。
根据勾股定理，$d=\sqrt{l^{2}+h^{2}}=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}\ m$。
C
3. (2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡$AB$的斜面坡度$i = 1:\sqrt{2}$(斜面坡度是指坡面的铅直高度$BC$与水平宽度$AC$的比)，堤坝高$BC = 15 m$，则迎水坡面$AB$的长度是
$15\sqrt{3}$
$ m$。答案：3.$15\sqrt{3}$
解析：
解：由题意知，斜面坡度$i = BC:AC = 1:\sqrt{2}$，$BC = 15\ m$，
设$AC = \sqrt{2}x\ m$，则$BC = x\ m$，
因为$BC = 15\ m$，所以$x = 15$，则$AC = 15\sqrt{2}\ m$，
在$ Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{(15\sqrt{2})^{2} + 15^{2}} = \sqrt{450 + 225} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}\ m$。
故答案为$15\sqrt{3}$。
设$AC = \sqrt{2}x\ m$，则$BC = x\ m$，
因为$BC = 15\ m$，所以$x = 15$，则$AC = 15\sqrt{2}\ m$，
在$ Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{(15\sqrt{2})^{2} + 15^{2}} = \sqrt{450 + 225} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}\ m$。
故答案为$15\sqrt{3}$。
4. 某商场准备将自动坡道的坡面坡度由$1:1.8$改为$1:2.4$(如图)。若改动后坡道的坡面长为$13 m$，则改动后坡道水平宽度增加的部分$BC$的长为
3
$ m$。答案：4.3
解析：
解：设改动后坡道的铅直高度为$h$，水平宽度为$BD$。
因为改动后坡度为$1:2.4$，所以$\frac{h}{BD}=\frac{1}{2.4}$，即$BD = 2.4h$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB^2=AD^2 + BD^2$，已知$AB = 13m$，则$h^2+(2.4h)^2=13^2$。
解得$h = 5m$，所以$BD=2.4×5 = 12m$。
设改动前水平宽度为$CD$，坡度$1:1.8$，则$\frac{h}{CD}=\frac{1}{1.8}$，$CD = 1.8×5=9m$。
$BC=BD - CD=12 - 9=3m$。
答案：3
因为改动后坡度为$1:2.4$，所以$\frac{h}{BD}=\frac{1}{2.4}$，即$BD = 2.4h$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB^2=AD^2 + BD^2$，已知$AB = 13m$，则$h^2+(2.4h)^2=13^2$。
解得$h = 5m$，所以$BD=2.4×5 = 12m$。
设改动前水平宽度为$CD$，坡度$1:1.8$，则$\frac{h}{CD}=\frac{1}{1.8}$，$CD = 1.8×5=9m$。
$BC=BD - CD=12 - 9=3m$。
答案：3
5. 如图，数学小组为测量某楼的高度，在$A$处测得楼顶$D$的仰角为$45°$，沿坡度为$7:24$的斜坡$AB$前行$25 m$到达平台$B$处，测得楼顶$D$的仰角为$60°$，点$D$，$E$，$C$在同一条直线上。求该楼的高度$DE$（结果精确到$1 m$，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.7$，$\sqrt{2} \approx 1.4$）。
答案：5.由题意，得$\tan\angle BAF=\frac{BF}{AF}=\frac{7}{24}$，$AB = 25 m$，$\angle DBE = 60^{\circ}$，$\angle DAC = 45^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$。设$BF = 7a m(a ＞ 0)$，则$AF = 24a m$。
在$ Rt\triangle ABF$中，由题意，得$BF^{2}+AF^{2}=AB^{2}$，$\therefore(7a)^{2}+(24a)^{2}=25^{2}$，解得$a = 1$(负值舍去)。$\therefore AF = 24 m$，$BF = 7 m$。
$\because\angle DAC = 45^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DAC=\angle ADC = 45^{\circ}$，$\therefore AC = DC$。设$DE = x m$，则易得$DC = AC=(x + 7) m$，$BE = CF = AC - AF = x + 7 - 24=(x - 17) m$。$\because\tan\angle DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{x}{x - 17}$，$\therefore\sqrt{3}=\frac{x}{x - 17}$，解得$x=\frac{51 + 17\sqrt{3}}{2}\approx40$。$\therefore$该楼的高度$DE$约为$40 m$
在$ Rt\triangle ABF$中，由题意，得$BF^{2}+AF^{2}=AB^{2}$，$\therefore(7a)^{2}+(24a)^{2}=25^{2}$，解得$a = 1$(负值舍去)。$\therefore AF = 24 m$，$BF = 7 m$。
$\because\angle DAC = 45^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DAC=\angle ADC = 45^{\circ}$，$\therefore AC = DC$。设$DE = x m$，则易得$DC = AC=(x + 7) m$，$BE = CF = AC - AF = x + 7 - 24=(x - 17) m$。$\because\tan\angle DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{x}{x - 17}$，$\therefore\sqrt{3}=\frac{x}{x - 17}$，解得$x=\frac{51 + 17\sqrt{3}}{2}\approx40$。$\therefore$该楼的高度$DE$约为$40 m$
6. 若坡面的坡度$i = 1:3$，则坡角$\alpha$满足 (
A.$\sin\alpha = \frac{1}{3}$
B.$\cos\alpha = \frac{1}{3}$
C.$\tan\alpha = \frac{1}{3}$
D.$\tan\alpha = 3$
C
)A.$\sin\alpha = \frac{1}{3}$
B.$\cos\alpha = \frac{1}{3}$
C.$\tan\alpha = \frac{1}{3}$
D.$\tan\alpha = 3$
答案：6.C
解析：
坡度$i$是坡角$\alpha$的正切值，即$i = \tan\alpha$。已知坡面的坡度$i = 1:3$，所以$\tan\alpha=\frac{1}{3}$。
C
C
7. 如图，在建筑物$AB$左侧与楼底$B$处的水平距离为$150 m$的$C$处有一斜坡，斜坡$CD$的坡度$i = 1:2.4$，坡顶$D$到$BC$的垂直距离$DE = 50 m$(点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$在同一平面内)，在$D$处测得建筑物顶端$A$的仰角为$50°$，则建筑物$AB$的高度约为(参考数据：$\sin50° \approx 0.77$，$\cos50° \approx 0.64$，$\tan50° \approx 1.19$)(
A.$69.2 m$
B.$73.1 m$
C.$80.0 m$
D.$85.7 m$
D
)A.$69.2 m$
B.$73.1 m$
C.$80.0 m$
D.$85.7 m$
答案：7.D