8. 如图，斜面$AC$的坡度为$1:2$，$AC = 3\sqrt{5} m$，坡顶有一旗杆$BC$，旗杆顶端$B$与点$A$之间由一条彩带相连。若$AB = 10 m$，则旗杆$BC$的高度为
5
$ m$。答案：8.5
解析：
解：设斜面$AC$的铅直高度为$CD = x\ m$，水平宽度为$AD = 2x\ m$。
在$ Rt \triangle ACD$中，由勾股定理得：
$x^{2}+(2x)^{2}=(3\sqrt{5})^{2}$
$5x^{2}=45$
$x^{2}=9$
解得$x = 3$（$x=-3$舍去），则$CD=3\ m$，$AD=6\ m$。
设$BC = h\ m$，则$BD=BC + CD=(h + 3)\ m$。
在$ Rt \triangle ABD$中，由勾股定理得：
$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$
$6^{2}+(h + 3)^{2}=10^{2}$
$36+(h^{2}+6h + 9)=100$
$h^{2}+6h - 55=0$
$(h + 11)(h - 5)=0$
解得$h = 5$（$h=-11$舍去）。
故旗杆$BC$的高度为$5\ m$。
$5$
在$ Rt \triangle ACD$中，由勾股定理得：
$x^{2}+(2x)^{2}=(3\sqrt{5})^{2}$
$5x^{2}=45$
$x^{2}=9$
解得$x = 3$（$x=-3$舍去），则$CD=3\ m$，$AD=6\ m$。
设$BC = h\ m$，则$BD=BC + CD=(h + 3)\ m$。
在$ Rt \triangle ABD$中，由勾股定理得：
$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$
$6^{2}+(h + 3)^{2}=10^{2}$
$36+(h^{2}+6h + 9)=100$
$h^{2}+6h - 55=0$
$(h + 11)(h - 5)=0$
解得$h = 5$（$h=-11$舍去）。
故旗杆$BC$的高度为$5\ m$。
$5$
9. 如图，$AB$是一垂直于水平面的建筑物，$BC$是建筑物底端的一个平台，斜坡$CD$的坡度$i = 1:0.75$，坡长为$10$米，$DE$为地面(点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$均在同一平面内)，则平台距地面的高度为
8
米。答案：9.8
解析：
解：过点$C$作$CF \perp DE$于点$F$，则平台距地面的高度为$CF$。
斜坡$CD$的坡度$i = 1:0.75$，即$\frac{CF}{DF}=\frac{1}{0.75}=\frac{4}{3}$。
设$CF = 4k$米，则$DF = 3k$米。
在$Rt\triangle CDF$中，由勾股定理得：$(4k)^2+(3k)^2=10^2$，
解得$k = 2$（$k=-2$舍去），
$\therefore CF=4k = 8$米。
8
斜坡$CD$的坡度$i = 1:0.75$，即$\frac{CF}{DF}=\frac{1}{0.75}=\frac{4}{3}$。
设$CF = 4k$米，则$DF = 3k$米。
在$Rt\triangle CDF$中，由勾股定理得：$(4k)^2+(3k)^2=10^2$，
解得$k = 2$（$k=-2$舍去），
$\therefore CF=4k = 8$米。
8
10.（新情境·日常生活）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图，$BC // AD$，斜坡$AB$长$\sqrt{26} m$，坡度$i = 3:2$。为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过$45°$时，可确保山体不滑坡。
（1）求改造前坡顶$B$到地面的垂直距离$BE$的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚$A$不动，坡顶$B$沿$BC$削进到$F$处，则$BF$长至少是多少米？
（1）求改造前坡顶$B$到地面的垂直距离$BE$的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚$A$不动，坡顶$B$沿$BC$削进到$F$处，则$BF$长至少是多少米？
答案：
10.(1)$\because$坡度$i = 3:2$，$\therefore$设$BE = 3x m(x＞0)$，则$AE = 2x m$。
$\therefore$在$ Rt\triangle AEB$中，$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}+(3x)^{2}}=\sqrt{13}x( m)$。$\because AB=\sqrt{26} m$，$\therefore\sqrt{13}x=\sqrt{26}$，解得$x=\sqrt{2}$。
$\therefore AE = 2\sqrt{2} m$，$BE = 3\sqrt{2} m$。$\therefore$改造前坡顶$B$到地面的垂直距离$BE$的长为$3\sqrt{2} m$
(2)如图，过点$F$作$FH\perp AD$于点$H$，连接$AF$，则易得$BF = HE$，$FH = BE = 3\sqrt{2} m$。当$\angle FAH = 45^{\circ}$时，$\triangle AHF$是等腰直角三角形，$\therefore AH = FH = 3\sqrt{2} m$。由(1)知，$AE = 2\sqrt{2} m$，$\therefore BF = HE = AH - AE = 3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}( m)$。$\therefore BF$长至少是$\sqrt{2} m$
10.(1)$\because$坡度$i = 3:2$，$\therefore$设$BE = 3x m(x＞0)$，则$AE = 2x m$。
$\therefore$在$ Rt\triangle AEB$中，$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}+(3x)^{2}}=\sqrt{13}x( m)$。$\because AB=\sqrt{26} m$，$\therefore\sqrt{13}x=\sqrt{26}$，解得$x=\sqrt{2}$。
$\therefore AE = 2\sqrt{2} m$，$BE = 3\sqrt{2} m$。$\therefore$改造前坡顶$B$到地面的垂直距离$BE$的长为$3\sqrt{2} m$
(2)如图，过点$F$作$FH\perp AD$于点$H$，连接$AF$，则易得$BF = HE$，$FH = BE = 3\sqrt{2} m$。当$\angle FAH = 45^{\circ}$时，$\triangle AHF$是等腰直角三角形，$\therefore AH = FH = 3\sqrt{2} m$。由(1)知，$AE = 2\sqrt{2} m$，$\therefore BF = HE = AH - AE = 3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}( m)$。$\therefore BF$长至少是$\sqrt{2} m$
11. 如图，山坡$AB$的坡度$i_1 = 1:2.4$，山坡$BC$的坡度$i_2 = 1:0.75$，山坡$CD$的坡角$\angle D = 30°$，已知点$B$到水平面$AD$的距离为$100 m$，山坡$CD$的长为$1000 m$。某登山队沿山坡$A-B-C$上山后，再沿山坡$CD$下山。求：
（1）山顶$C$到水平面$AD$的距离；
（2）山坡$A-B-C$的长。
（1）山顶$C$到水平面$AD$的距离；
（2）山坡$A-B-C$的长。
答案：
11.(1)如图，过点$C$作$CF\perp AD$，垂足为$F$。在$ Rt\triangle CDF$中，$\because\sin D=\frac{CF}{CD}$，$\angle D = 30^{\circ}$，$CD = 1000 m$，$\therefore CF=\sin D· CD=\frac{1}{2}×1000 = 500( m)$。$\therefore$山顶$C$到水平面$AD$的距离为$500 m$
(2)如图，过点$B$作$BH\perp AD$，$BE\perp CF$，垂足分别为$H$，$E$。
$\therefore$易得四边形$BHFE$是矩形，$\therefore BH = EF = 100 m$。$\therefore CE = CF - EF = 400 m$。在$ Rt\triangle ABH$中，$\because AB$的坡度$i_{1}=1:2.4=\frac{BH}{AH}$，$\therefore AH = 100×2.4 = 240( m)$。$\therefore AB=\sqrt{BH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{100^{2}+240^{2}} = 260( m)$。在$ Rt\triangle BEC$中，$\because$山坡$BC$的坡度$i_{2}=1:0.75=\frac{CE}{BE}$，$\therefore BE = 0.75CE = 300 m$。$\therefore BC=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{400^{2}+300^{2}} = 500( m)$。$\therefore$山坡$A - B - C$的长为$260 + 500 = 760( m)$
11.(1)如图，过点$C$作$CF\perp AD$，垂足为$F$。在$ Rt\triangle CDF$中，$\because\sin D=\frac{CF}{CD}$，$\angle D = 30^{\circ}$，$CD = 1000 m$，$\therefore CF=\sin D· CD=\frac{1}{2}×1000 = 500( m)$。$\therefore$山顶$C$到水平面$AD$的距离为$500 m$
(2)如图，过点$B$作$BH\perp AD$，$BE\perp CF$，垂足分别为$H$，$E$。
$\therefore$易得四边形$BHFE$是矩形，$\therefore BH = EF = 100 m$。$\therefore CE = CF - EF = 400 m$。在$ Rt\triangle ABH$中，$\because AB$的坡度$i_{1}=1:2.4=\frac{BH}{AH}$，$\therefore AH = 100×2.4 = 240( m)$。$\therefore AB=\sqrt{BH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{100^{2}+240^{2}} = 260( m)$。在$ Rt\triangle BEC$中，$\because$山坡$BC$的坡度$i_{2}=1:0.75=\frac{CE}{BE}$，$\therefore BE = 0.75CE = 300 m$。$\therefore BC=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{400^{2}+300^{2}} = 500( m)$。$\therefore$山坡$A - B - C$的长为$260 + 500 = 760( m)$