1. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔 $AB$ 前有一座高为 $DE$ 的观景台，已知 $CD = 8\ m$，$CD$ 的坡度 $i = 1:\sqrt{3}$，点 $E$，$C$，$A$ 在同一水平线上. 某学习小组在观景台 $C$ 处测得塔顶部 $B$ 的仰角为 $45°$，在观景台 $D$ 处测得塔顶部 $B$ 的仰角为 $27°$. 求：
（1）$DE$ 的长；
（2）塔 $AB$ 的高度(结果精确到 $1\ m$，参考数据：$\tan 27° \approx 0.5$，$\sqrt{3} \approx 1.7$).
（1）$DE$ 的长；
（2）塔 $AB$ 的高度(结果精确到 $1\ m$，参考数据：$\tan 27° \approx 0.5$，$\sqrt{3} \approx 1.7$).
答案：1．（1）由题意，得DE⊥EC.在Rt△DEC中，tan∠DCE= $\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠DCE=30°.
∵CD=8m,
∴DE=$\frac{1}{2}CD$ = 4m.
∴DE的长为4m
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F.由题意，得DF=EA，DE=FA=4m.设AC=xm.
∵在Rt△CDE中,CE=CD·cos∠DCE=$4\sqrt{3}$m,
∴DF=AE=AC+CE=(x+$4\sqrt{3}$)m.在Rt△ACB中，
∵∠BCA=45°，
∴AB=AC·tan∠BCA=xm.在Rt△BFD中，
∵∠BDF=27°,
∴BF=DF·tan∠BDF≈0.5(x+$4\sqrt{3}$)m.
∵BF+AF=AB,
∴0.5(x+$4\sqrt{3}$)+4=x，解得x=$4\sqrt{3}$+8≈15.
∴AB=15m.
∴塔AB的高度约为15m
∴∠DCE=30°.
∵CD=8m,
∴DE=$\frac{1}{2}CD$ = 4m.
∴DE的长为4m
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F.由题意，得DF=EA，DE=FA=4m.设AC=xm.
∵在Rt△CDE中,CE=CD·cos∠DCE=$4\sqrt{3}$m,
∴DF=AE=AC+CE=(x+$4\sqrt{3}$)m.在Rt△ACB中，
∵∠BCA=45°，
∴AB=AC·tan∠BCA=xm.在Rt△BFD中，
∵∠BDF=27°,
∴BF=DF·tan∠BDF≈0.5(x+$4\sqrt{3}$)m.
∵BF+AF=AB,
∴0.5(x+$4\sqrt{3}$)+4=x，解得x=$4\sqrt{3}$+8≈15.
∴AB=15m.
∴塔AB的高度约为15m
2. (2025 · 天津）在综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑 $AB$ 的高度(如图 ①). 某学习小组设计了一个方案：如图②，点 $A$，$E$，$C$ 依次在同一水平线上，$CD \perp AC$，$EF \perp AC$，且 $CD = EF = 1.7\ m$. 在点 $D$ 处测得世纪钟建筑顶部 $B$ 的仰角为 $22°$，在点 $F$ 处测得世纪钟建筑顶部 $B$ 的仰角为 $31°$，$CE = 32\ m$. 根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑 $AB$ 的高度(结果精确到 $1\ m$，参考数据：$\tan 22° \approx 0.4$，$\tan 31° \approx 0.6$）。
答案：
2．如图，延长DF与AB相交于点G.根据题意，得四边形GAEF和四边形FECD均为矩形,∠GDB=22°,∠GFB=31°，∠DGB=90°,
∴AG=EF=CD=1.7m,DF=CE=32m.设GB=xm.
∵在Rt△FGB中，tan∠GFB=$\frac{GB}{GF}$,
∴GF=$\frac{GB}{tan∠GFB}=\frac{x}{tan31°}≈\frac{5}{3}x$(m).
∵在Rt△DGB中，tan∠GDB=$\frac{GB}{GD}$,
∴GD=$\frac{GB}{tan∠GDB}=\frac{x}{tan22°}≈\frac{5}{2}x$(m).
∵GF+DF=GD,
∴$\frac{5}{3}x+32=\frac{5}{2}x$,解得x=38.4.
∴GB=38.4m.
∴AB=AG+GB=1.7+38.4≈40(m).
∴世纪钟建筑AB的高度约为40m
2．如图，延长DF与AB相交于点G.根据题意，得四边形GAEF和四边形FECD均为矩形,∠GDB=22°,∠GFB=31°，∠DGB=90°,
∴AG=EF=CD=1.7m,DF=CE=32m.设GB=xm.
∵在Rt△FGB中，tan∠GFB=$\frac{GB}{GF}$,
∴GF=$\frac{GB}{tan∠GFB}=\frac{x}{tan31°}≈\frac{5}{3}x$(m).
∵在Rt△DGB中，tan∠GDB=$\frac{GB}{GD}$,
∴GD=$\frac{GB}{tan∠GDB}=\frac{x}{tan22°}≈\frac{5}{2}x$(m).
∵GF+DF=GD,
∴$\frac{5}{3}x+32=\frac{5}{2}x$,解得x=38.4.
∴GB=38.4m.
∴AB=AG+GB=1.7+38.4≈40(m).
∴世纪钟建筑AB的高度约为40m