3. (2024 · 重庆 A 卷）如图，甲、乙两艘货轮同时从 $A$ 港出发，分别向 $B$，$D$ 两港运送物资，最后到达 $A$ 港正东方向的 $C$ 港装运新的物资. 甲货轮沿 $A$ 港的东南方向航行 $40$ 海里后到达 $B$ 港，再沿北偏东 $60°$ 方向航行一定距离到达 $C$ 港. 乙货轮沿 $A$ 港的北偏东 $60°$ 方向航行一定距离到达 $D$ 港，再沿南偏东 $30°$ 方向航行一定距离到达 $C$ 港（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{6} \approx 2.45$）.
（1）求 $A$，$C$ 两港之间的距离.
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 $B$，$D$ 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 $C$ 港？请说明理由.
（1）求 $A$，$C$ 两港之间的距离.
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 $B$，$D$ 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 $C$ 港？请说明理由.
答案：
3．（1）如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E.在Rt△ABE中，
∵∠BAE=90°－45°=45°，AB=40海里，
∴AE=AB·cos45°=$40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里)，BE=AB·sin45°=$40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里).在Rt△BCE中，
∵∠CBE=60°,
∴CE=BE·tan60°=$20\sqrt{2}×\sqrt{3}=20\sqrt{6}$(海里).
∴AC=AE+CE=$20\sqrt{2}+20\sqrt{6}≈77.2$(海里).
∴A,C两港之间的距离约为77.2海里
（2）甲货轮先到达C港 理由：如图，标记点F，G.由题意，得∠CDF=30°,DF//AG,
∴∠GAD=∠ADF=60°.
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°.在Rt△ACD中，
∵∠CAD=90°－∠GAD=30°,
∴CD=$\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6})$海里，AD=AC·cos∠CAD=$(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})$海里.在Rt△BCE中，
∵∠CBE=60°,BE=$20\sqrt{2}$海里，
∴BC=$\frac{BE}{cos60°}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=40\sqrt{2}$(海里).
∴甲货轮航行的路程为AB+BC=40+$40\sqrt{2}≈$96.4(海里)，乙货轮航行的路程为AD+CD=$10\sqrt{6}+30\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10\sqrt{6}=20\sqrt{6}+40\sqrt{2}≈105.4$(海里).
∵96.4＜105.4，甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B，D两港的时间相同)，
∴甲货轮先到达C港.
3．（1）如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E.在Rt△ABE中，
∵∠BAE=90°－45°=45°，AB=40海里，
∴AE=AB·cos45°=$40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里)，BE=AB·sin45°=$40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里).在Rt△BCE中，
∵∠CBE=60°,
∴CE=BE·tan60°=$20\sqrt{2}×\sqrt{3}=20\sqrt{6}$(海里).
∴AC=AE+CE=$20\sqrt{2}+20\sqrt{6}≈77.2$(海里).
∴A,C两港之间的距离约为77.2海里
（2）甲货轮先到达C港 理由：如图，标记点F，G.由题意，得∠CDF=30°,DF//AG,
∴∠GAD=∠ADF=60°.
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°.在Rt△ACD中，
∵∠CAD=90°－∠GAD=30°,
∴CD=$\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6})$海里，AD=AC·cos∠CAD=$(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})$海里.在Rt△BCE中，
∵∠CBE=60°,BE=$20\sqrt{2}$海里，
∴BC=$\frac{BE}{cos60°}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=40\sqrt{2}$(海里).
∴甲货轮航行的路程为AB+BC=40+$40\sqrt{2}≈$96.4(海里)，乙货轮航行的路程为AD+CD=$10\sqrt{6}+30\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10\sqrt{6}=20\sqrt{6}+40\sqrt{2}≈105.4$(海里).
∵96.4＜105.4，甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B，D两港的时间相同)，
∴甲货轮先到达C港.
4. 某校“综合与实践”小组开展了测量某塑像高度的实践活动. 如图，该塑像 $DE$ 在高 $56\ m$ 的小山 $EC$ 上，在 $A$ 处测得塑像底部 $E$ 的仰角为 $35°$，再沿 $AC$ 方向前进 $21\ m$ 到达 $B$ 处，测得塑像顶部 $D$ 的仰角为 $60°$. 求该塑像 $DE$ 的高度(结果精确到 $1\ m$，参考数据：$\sin 35° \approx 0.57$，$\cos 35° \approx 0.82$，$\tan 35° \approx 0.70$，$\sqrt{3} \approx 1.73$).
答案：4．由题意，得DC⊥AC，AB=21m.在Rt△ACE中,
∵∠EAC=35°,EC=56m,
∴AC=$\frac{EC}{tan35°}≈\frac{56}{0.70}$=80(m).
∴BC=AC－AB=80－21=59(m).在Rt△BCD中，
∵∠DBC=60°，
∴CD=BC·tan∠DBC=59tan60°=$59\sqrt{3}$(m).
∴DE=CD－CE=$59\sqrt{3}$－56≈46(m).
∴该塑像DE的高度约为46m
∵∠EAC=35°,EC=56m,
∴AC=$\frac{EC}{tan35°}≈\frac{56}{0.70}$=80(m).
∴BC=AC－AB=80－21=59(m).在Rt△BCD中，
∵∠DBC=60°，
∴CD=BC·tan∠DBC=59tan60°=$59\sqrt{3}$(m).
∴DE=CD－CE=$59\sqrt{3}$－56≈46(m).
∴该塑像DE的高度约为46m