8. 如图，在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$ BC=\sqrt{5}$，$ D$是$ AC$上一点，连接$ BD$. 如果$\tan A=\frac{1}{2}$，$\tan \angle ABD=\frac{1}{3}$，那么$ CD=$
$\sqrt{5}$
.答案：8.$\sqrt{5}$
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，$BC=\sqrt{5}$，则$AC=2BC=2\sqrt{5}$。
设$CD=x$，则$AD=AC - CD=2\sqrt{5}-x$。
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，设$DE=m$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，则$AE=2m$，$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{(2m)^{2}+m^{2}}=\sqrt{5}m$，即$2\sqrt{5}-x=\sqrt{5}m$，得$m=\frac{2\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}}=2-\frac{x}{\sqrt{5}}$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\tan\angle ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，则$BE=3m$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=5$。
因为$AB=AE + BE$，所以$2m + 3m=5$，即$5m=5$，$m=1$。
由$m=2-\frac{x}{\sqrt{5}}=1$，解得$x=\sqrt{5}$，即$CD=\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
设$CD=x$，则$AD=AC - CD=2\sqrt{5}-x$。
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，设$DE=m$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，则$AE=2m$，$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{(2m)^{2}+m^{2}}=\sqrt{5}m$，即$2\sqrt{5}-x=\sqrt{5}m$，得$m=\frac{2\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}}=2-\frac{x}{\sqrt{5}}$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\tan\angle ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，则$BE=3m$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=5$。
因为$AB=AE + BE$，所以$2m + 3m=5$，即$5m=5$，$m=1$。
由$m=2-\frac{x}{\sqrt{5}}=1$，解得$x=\sqrt{5}$，即$CD=\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
9. (2025·安徽)某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛. 如图，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段$ AB$和$ CD$表示，彩带用线段$ AD$表示. 工作人员测得在点$ A$处看点$ C$的俯角为$23.8°$，看点$ D$的仰角为$36.9°$. 已知$ AB=13.20\ m$，求$ AD$的长(结果精确到$0.1\ m$，参考数据：$\sin 23.8°\approx 0.40$，$\cos 23.8°\approx 0.91$，$\tan 23.8°\approx 0.44$，$\sin 36.9°\approx 0.60$，$\cos 36.9°\approx 0.80$，$\tan 36.9°\approx 0.75$).
答案：
9.如图，过点A作$AE\perp CD$，垂足为E.由题意，易得四边形ABCE为矩形，$\therefore CE=AB=13.20$m.在$Rt\triangle ACE$中，$\tan\angle CAE=\frac{CE}{AE}$，$\therefore AE=\frac{CE}{\tan\angle CAE}=\frac{13.20}{\tan23.8^{\circ}}\approx\frac{13.20}{0.44}=30(m)$.在$Rt\triangle ADE$中，$\cos\angle DAE=\frac{AE}{AD}$，$\therefore AD=\frac{AE}{\cos\angle DAE}=\frac{30}{\cos36.9^{\circ}}\approx\frac{30}{0.80}=37.5(m).\therefore AD$的长约为$37.5$m
9.如图，过点A作$AE\perp CD$，垂足为E.由题意，易得四边形ABCE为矩形，$\therefore CE=AB=13.20$m.在$Rt\triangle ACE$中，$\tan\angle CAE=\frac{CE}{AE}$，$\therefore AE=\frac{CE}{\tan\angle CAE}=\frac{13.20}{\tan23.8^{\circ}}\approx\frac{13.20}{0.44}=30(m)$.在$Rt\triangle ADE$中，$\cos\angle DAE=\frac{AE}{AD}$，$\therefore AD=\frac{AE}{\cos\angle DAE}=\frac{30}{\cos36.9^{\circ}}\approx\frac{30}{0.80}=37.5(m).\therefore AD$的长约为$37.5$m
10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\sin B=\frac{4}{5}$，点$ F$在$ BC$上，$ AB= AF=5$，过点$ F$作$ EF\perp CB$交$ AC$于点$ E$，且$ AE: EC=3:5$. 求$ BF$的长及$\sin C$的值.
答案：10.过点A作$AD\perp CB$，垂足为D.$\because\sin B=\frac{4}{5}$，$\therefore$易得$\cos B=\frac{3}{5}$.在$Rt\triangle ABD$中，$BD=AB·\cos B=3.\because AB=AF$，$AD\perp CB$，$\therefore DF=BD=3$，$BF=2BD=6.\because EF\perp CB$，$AD\perp CB$，$\therefore EF// AD.\therefore\frac{DF}{CF}=\frac{AE}{EC}.\because AE:EC=3:5$，$\therefore CF=5.\therefore CD=CF+DF=5+3=8$.在$Rt\triangle ABD$中，$AD=AB·\sin B=5×\frac{4}{5}=4$.在$Rt\triangle ACD$中，$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}.\therefore\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析：
解：过点$A$作$AD\perp CB$，垂足为$D$。
在$\triangle ABC$中，$\sin B = \frac{4}{5}$，则$\cos B = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD = AB · \cos B = 5 × \frac{3}{5} = 3$。
因为$AB = AF$，$AD\perp CB$，所以$DF = BD = 3$，$BF = BD + DF = 3 + 3 = 6$。
因为$EF\perp CB$，$AD\perp CB$，所以$EF// AD$，则$\frac{AE}{EC} = \frac{DF}{CF}$。
已知$AE:EC = 3:5$，$DF = 3$，所以$\frac{3}{5} = \frac{3}{CF}$，解得$CF = 5$。
$CD = CF + DF = 5 + 3 = 8$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD = AB · \sin B = 5 × \frac{4}{5} = 4$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$。
$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
综上，$BF$的长为$6$，$\sin C$的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$。
在$\triangle ABC$中，$\sin B = \frac{4}{5}$，则$\cos B = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD = AB · \cos B = 5 × \frac{3}{5} = 3$。
因为$AB = AF$，$AD\perp CB$，所以$DF = BD = 3$，$BF = BD + DF = 3 + 3 = 6$。
因为$EF\perp CB$，$AD\perp CB$，所以$EF// AD$，则$\frac{AE}{EC} = \frac{DF}{CF}$。
已知$AE:EC = 3:5$，$DF = 3$，所以$\frac{3}{5} = \frac{3}{CF}$，解得$CF = 5$。
$CD = CF + DF = 5 + 3 = 8$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD = AB · \sin B = 5 × \frac{4}{5} = 4$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$。
$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
综上，$BF$的长为$6$，$\sin C$的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$。
11. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，点$ A$，$ B$，$ C$，$ D$都在格点(小正方形的顶点)处，$ AB$与$ CD$相交于点$ P$，则$\cos \angle APC$的值为
(
A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
(
B
)A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案：11.B