1. 在$ Rt\triangle ABC$中，若$\angle C=90°$，$ AB=5$，$ AC=2$，则$\tan B$的值为
(
A.$\frac{\sqrt{21}}{2}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{21}}{21}$
D.$\frac{2\sqrt{29}}{29}$
(
C
)A.$\frac{\sqrt{21}}{2}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{21}}{21}$
D.$\frac{2\sqrt{29}}{29}$
答案：1.C
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AB=5$，$AC=2$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 2^2}=\sqrt{21}$，
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$。
答案：C
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 2^2}=\sqrt{21}$，
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$。
答案：C
2. 如图，在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$ AC= BC=\sqrt{2}$，点$ D$在$ AB$的延长线上，且$ CD= AB$，则$\cos D$的值为 (
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B
)A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：2.B
解析：
证明：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=BC=\sqrt{2}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=2$，
$\angle CAB = \angle CBA = 45°$，
$\because CD = AB$，$\therefore CD=2$，
过点$C$作$CE \perp AD$于点$E$，
$\because AC=BC$，$CE \perp AB$，
$\therefore E$为$AB$中点，$AE=BE=\frac{AB}{2}=1$，
在$Rt\triangle ACE$中，$\angle CAE=45°$，$AC=\sqrt{2}$，
$\therefore CE=AC · \sin 45°=\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
在$Rt\triangle CED$中，$CD=2$，$CE=1$，
$\cos D=\frac{DE}{CD}=\frac{\sqrt{CD^2 - CE^2}}{CD}=\frac{\sqrt{2^2 - 1^2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
答案：B
$\therefore AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=2$，
$\angle CAB = \angle CBA = 45°$，
$\because CD = AB$，$\therefore CD=2$，
过点$C$作$CE \perp AD$于点$E$，
$\because AC=BC$，$CE \perp AB$，
$\therefore E$为$AB$中点，$AE=BE=\frac{AB}{2}=1$，
在$Rt\triangle ACE$中，$\angle CAE=45°$，$AC=\sqrt{2}$，
$\therefore CE=AC · \sin 45°=\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
在$Rt\triangle CED$中，$CD=2$，$CE=1$，
$\cos D=\frac{DE}{CD}=\frac{\sqrt{CD^2 - CE^2}}{CD}=\frac{\sqrt{2^2 - 1^2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
答案：B
3. (新考向·数学文化)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为$25$，小正方形的面积为$1$，则$\sin \theta$的值为 (
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$4$
D.$\frac{1}{5}$
A
)A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$4$
D.$\frac{1}{5}$
答案：3.A
4. 在$ Rt\triangle ABC$中，若$\angle C=90°$，$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\cos B=$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
；在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$\cos B=\frac{5}{7}$，如果$ AB=14$，那么$ AC=$$4\sqrt{6}$
.答案：4.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ $4\sqrt{6}$
5. (2025·启东一模)在$ Rt\triangle ABC$中，$ AC=3$，$ CD$为斜边$ AB$上的中线.若$ CD=2$，则$\cos A$的值为
$\frac{3}{4}$
.答案：5.$\frac{3}{4}$
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$CD$为斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得$AB = 2CD$。
已知$CD = 2$，则$AB=2×2 = 4$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\cos A=\frac{AC}{AB}$，$AC = 3$，$AB = 4$，所以$\cos A=\frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$
已知$CD = 2$，则$AB=2×2 = 4$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\cos A=\frac{AC}{AB}$，$AC = 3$，$AB = 4$，所以$\cos A=\frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$
6. 计算$6\tan 45°-2\cos 60°$的结果是 (
A.$4\sqrt{3}$
B.$4$
C.$5\sqrt{3}$
D.$5$
D
)A.$4\sqrt{3}$
B.$4$
C.$5\sqrt{3}$
D.$5$
答案：6.D
解析：
$6\tan 45° - 2\cos 60°$
$=6×1 - 2×\frac{1}{2}$
$=6 - 1$
$=5$
D
$=6×1 - 2×\frac{1}{2}$
$=6 - 1$
$=5$
D
7. 如图，在$\triangle ABC$中，$ AD\perp BC$，垂足为$ D$，$ E$为$ AC$的中点，连接$ DE$.若$ AB=26$，$ CD=6$，$\sin B=\frac{5}{13}$，则$ DE$的长为
(
A.$\sqrt{34}$
B.$2\sqrt{34}$
C.$4$
D.$8$
(
A
)A.$\sqrt{34}$
B.$2\sqrt{34}$
C.$4$
D.$8$
答案：7.A
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，则$\angle ADB=90°$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{13}$，$AB=26$，
$\therefore AD=AB·\sin B=26×\frac{5}{13}=10$。
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{26^2 - 10^2}=\sqrt{676 - 100}=\sqrt{576}=24$。
$\because CD=6$，$\therefore BC=BD + CD=24 + 6=30$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AD=10$，$CD=6$，
$\therefore AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{10^2 + 6^2}=\sqrt{100 + 36}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$。
$\because E$为$AC$的中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{34}=\sqrt{34}$。
答案：A
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{13}$，$AB=26$，
$\therefore AD=AB·\sin B=26×\frac{5}{13}=10$。
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{26^2 - 10^2}=\sqrt{676 - 100}=\sqrt{576}=24$。
$\because CD=6$，$\therefore BC=BD + CD=24 + 6=30$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AD=10$，$CD=6$，
$\therefore AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{10^2 + 6^2}=\sqrt{100 + 36}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$。
$\because E$为$AC$的中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{34}=\sqrt{34}$。
答案：A