8. 若点$A(a - 1,y_1)$，$B(a + 1,y_2)$都在函数$y = \frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，且$y_1＞y_2$，则$a$的取值范围是 (
A.$a＜- -1$
B.$-1＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＜-1$或$a＞1$
B
)A.$a＜- -1$
B.$-1＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＜-1$或$a＞1$
答案：8. B
解析：
∵函数$y = \frac{k}{x}(k＜0)$，
∴其图象在第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(a - 1,y_1)$，$B(a + 1,y_2)$，且$y_1＞y_2$。
情况一：若$A$、$B$在同一象限，
∵$a + 1＞a - 1$，且$y$随$x$增大而增大，应有$y_2＞y_1$，与$y_1＞y_2$矛盾，故不在同一象限。
情况二：$A$在第二象限，$B$在第四象限，
则$\begin{cases}a - 1＜0 \\ a + 1＞0\end{cases}$，
解得$-1＜a＜1$。
情况三：$A$在第四象限，$B$在第二象限，
则$\begin{cases}a - 1＞0 \\ a + 1＜0\end{cases}$，
$a - 1＞0$得$a＞1$，$a + 1＜0$得$a＜ - 1$，无解。
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜1$。
B
9. 反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$在第一象限的图象如图所示，已知点$A$的坐标为$(3,1)$，写出一个满足条件的$k$的值：
]
答案不唯一，如$2$
.]答案：9. 答案不唯一，如$2$
10. 已知反比例函数$y = \frac{1 - 2m}{x}$的图象上有$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点，且当$x_1＜x_2＜0$时，$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是
$m ＞ \frac{1}{2}$
.答案：10. $m ＞ \frac{1}{2}$
解析：
解：因为当$x_1＜x_2＜0$时，$y_1＜y_2$，所以在第三象限内，$y$随$x$的增大而增大。
对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$，当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
所以$1 - 2m＜0$，
解得$m＞\frac{1}{2}$。
$m ＞ \frac{1}{2}$
对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$，当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
所以$1 - 2m＜0$，
解得$m＞\frac{1}{2}$。
$m ＞ \frac{1}{2}$
11.(易错题)对于函数$y = \frac{2}{x}$，当函数值$y＜ -1$时，自变量$x$的取值范围是
$-2 ＜ x ＜ 0$
.答案：11. $-2 ＜ x ＜ 0$ [易错分析]求自变量的取值范围时漏解.
解析：
解：由题意得$\frac{2}{x} ＜ -1$。
因为$y = \frac{2}{x}$，当$y ＜ -1$时，$\frac{2}{x} ＜ -1$。
若$x ＞ 0$，不等式两边同乘$x$得$2 ＜ -x$，即$x ＜ -2$，与$x ＞ 0$矛盾，无解。
若$x ＜ 0$，不等式两边同乘$x$（此时不等号方向改变）得$2 ＞ -x$，即$x ＞ -2$。
综上，$-2 ＜ x ＜ 0$。
$-2 ＜ x ＜ 0$
因为$y = \frac{2}{x}$，当$y ＜ -1$时，$\frac{2}{x} ＜ -1$。
若$x ＞ 0$，不等式两边同乘$x$得$2 ＜ -x$，即$x ＜ -2$，与$x ＞ 0$矛盾，无解。
若$x ＜ 0$，不等式两边同乘$x$（此时不等号方向改变）得$2 ＞ -x$，即$x ＞ -2$。
综上，$-2 ＜ x ＜ 0$。
$-2 ＜ x ＜ 0$
12.(2025·山西)如图，在平面直角坐标系中，直线$AB$分别与$x$轴、$y$轴交于点$A$，$B$，与反比例函数$y = \frac{k}{x}$在第一象限的图象交于点$C$. 已知点$A$的坐标为$(-2,0)$，点$C$的坐标为$(1,6)$，点$D$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$位于第一象限的图象上，纵坐标为 2.
(1) 求反比例函数的解析式和点$B$的坐标；
(2) 连接$BD$，$OD$，求四边形$ABDO$的面积.
]
(1) 求反比例函数的解析式和点$B$的坐标；
(2) 连接$BD$，$OD$，求四边形$ABDO$的面积.
]答案：12. (1) $\because$点$C$的坐标为$(1,6)$，且在反比例函数$y = \frac{k}{x}$位于第一象限的图象上，$\therefore 6 = \frac{k}{1}$，即$k = 6$.$\therefore$反比例函数的解析式为$y = \frac{6}{x}$.设直线$AC$对应的函数解析式为$y = ax + b(a \neq 0)$.把$A(-2,0),C(1,6)$分别代入，得$\begin{cases}-2a + b = 0, \\a + b = 6, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2, \\b = 4. \end{cases}$$\therefore$直线$AC$对应的函数解析式为$y = 2x + 4$.令$x = 0$，则$y = 4$.$\therefore$点$B$的坐标为$(0,4)$ (2) $\because$点$D$在反比例函数$y = \frac{6}{x}$位于第一象限的图象上，纵坐标为$2$，$\therefore 2 = \frac{6}{x}$，解得$x = 3$.由题意知，$OA = 2,OB = 4$，$\therefore S_{四边形ABDO} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2}OA · OB + \frac{1}{2}OB · x_D = \frac{1}{2} × 2 × 4 + \frac{1}{2} × 4 × 3 = 10$
13. 如图，反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$与一次函数$y = k_2x + b$的图象交于点$A(1,8)$，$B(-4,m)$.
(1) 求$k_1$，$k_2$，$b$的值.
(2) 求$\triangle AOB$的面积.
(3) 若$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$是反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$图象上的两点，且$x_1＜x_2$，$y_1＜y_2$，则点$M$，$N$分别位于哪个象限？请说明理由.
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(1) 求$k_1$，$k_2$，$b$的值.
(2) 求$\triangle AOB$的面积.
(3) 若$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$是反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$图象上的两点，且$x_1＜x_2$，$y_1＜y_2$，则点$M$，$N$分别位于哪个象限？请说明理由.
]答案：13. (1) $\because$点$A(1,8)$在反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$的图象上，$\therefore k_1 = 8$.$\therefore$反比例函数的解析式为$y = \frac{8}{x}$. $\because$点$B(-4,m)$在反比例函数$y = \frac{8}{x}$的图象上，$\therefore m = -2$.$\therefore$点$B$的坐标为$(-4,-2)$. $\because$点$A(1,8),B(-4,-2)$在一次函数$y = k_2x + b$的图象上，$\therefore \begin{cases}k_2 + b = 8, \\-4k_2 + b = -2, \end{cases}$解得$\begin{cases}k_2 = 2, \\b = 6 \end{cases}$(2)由(1)知，一次函数的解析式为$y = 2x + 6$，设其图象与$y$轴的交点为$C$，则易得点$C$的坐标为$(0,6)$.$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COB} + S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 4 × 6 + \frac{1}{2} × 1 × 6 = 15$ (3)点$M$位于第三象限，点$N$位于第一象限 理由：$\because k_1 = 8 ＞ 0$，$\therefore$反比例函数$y = \frac{8}{x}$的图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小. $\because$当$x_1 ＜ x_2$时，$y_1 ＜ y_2$，$\therefore$点$M,N$在不同的象限.$\therefore$点$M$位于第三象限，点$N$位于第一象限.