1. 在平面直角坐标系中，点$A(1,4a)$，$B(a,a + 2)$都在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象上，则$k$的
值为
(
A.2
B.4
C.6
D.8
值为
(
D
)A.2
B.4
C.6
D.8
答案：1.D
解析：
∵点$A(1,4a)$，$B(a,a + 2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，
∴$k = 1×4a = 4a$，且$k = a(a + 2)$。
∴$4a = a(a + 2)$。
$4a = a^2 + 2a$
$a^2 - 2a = 0$
$a(a - 2) = 0$
解得$a = 0$或$a = 2$。
∵$a = 0$时，点$B$的横坐标为$0$，不符合题意，舍去。
∴$a = 2$。
∴$k = 4a = 4×2 = 8$。
D
2. (2025·天津)若点$A(-3,y_{1})$，$B(1,y_{2})$，$C(3,y_{3})$都在反比例函数$y = - \frac{9}{x}$的图象上，则$y_{1}$，$y_{2}$，
$y_{3}$的大小关系是
(
A.$y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
B.$y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$
C.$y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
D.$y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$
$y_{3}$的大小关系是
(
D
)A.$y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
B.$y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$
C.$y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
D.$y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$
答案：2.D
解析：
将点$A(-3,y_{1})$代入$y = -\frac{9}{x}$，得$y_{1}=-\frac{9}{-3}=3$；
将点$B(1,y_{2})$代入$y = -\frac{9}{x}$，得$y_{2}=-\frac{9}{1}=-9$；
将点$C(3,y_{3})$代入$y = -\frac{9}{x}$，得$y_{3}=-\frac{9}{3}=-3$；
因为$-9 ＜ -3 ＜ 3$，所以$y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$。
D
将点$B(1,y_{2})$代入$y = -\frac{9}{x}$，得$y_{2}=-\frac{9}{1}=-9$；
将点$C(3,y_{3})$代入$y = -\frac{9}{x}$，得$y_{3}=-\frac{9}{3}=-3$；
因为$-9 ＜ -3 ＜ 3$，所以$y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$。
D
3. (数形结合思想)(2025·连云港)如图，正比例函数$y = k_{1}x(k_{1} ＜ 0)$的图象与反比例函数$y = \frac{k_{2}}{x}$
$(k_{2} ＜ 0)$的图象相交于$A$，$B$两点，点$A$的横坐标为$-1$，当$k_{1}x ＜ \frac{k_{2}}{x}$时，$x$的取值范围是 (
A.$x ＜ -1$或$x ＞ 1$
B.$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 1$
C.$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$
D.$-1 ＜ x ＜ 0$或$0 ＜ x ＜ 1$
$(k_{2} ＜ 0)$的图象相交于$A$，$B$两点，点$A$的横坐标为$-1$，当$k_{1}x ＜ \frac{k_{2}}{x}$时，$x$的取值范围是 (
C
)A.$x ＜ -1$或$x ＞ 1$
B.$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 1$
C.$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$
D.$-1 ＜ x ＜ 0$或$0 ＜ x ＜ 1$
答案：3.C
解析：
解：
∵正比例函数$y = k_{1}x(k_{1} ＜ 0)$与反比例函数$y = \frac{k_{2}}{x}(k_{2} ＜ 0)$的图象均关于原点对称，
∴两函数图象的交点$A$，$B$关于原点对称。
∵点$A$的横坐标为$-1$，
∴点$B$的横坐标为$1$。
由图象可知：
当$-1 ＜ x ＜ 0$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，即$k_{1}x ＜ \frac{k_{2}}{x}$；
当$x ＞ 1$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，即$k_{1}x ＜ \frac{k_{2}}{x}$。
综上，$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$。
答案：C
∵正比例函数$y = k_{1}x(k_{1} ＜ 0)$与反比例函数$y = \frac{k_{2}}{x}(k_{2} ＜ 0)$的图象均关于原点对称，
∴两函数图象的交点$A$，$B$关于原点对称。
∵点$A$的横坐标为$-1$，
∴点$B$的横坐标为$1$。
由图象可知：
当$-1 ＜ x ＜ 0$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，即$k_{1}x ＜ \frac{k_{2}}{x}$；
当$x ＞ 1$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，即$k_{1}x ＜ \frac{k_{2}}{x}$。
综上，$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$。
答案：C
4. 如图，$\bigtriangleup OAC$和$\bigtriangleup BAD$都是等腰直角三角形，$\angle ACO = \angle ADB = 90^{\circ}$，反比例函数$y = \frac{12}{x}$在第一
象限的图象经过点$B$，则$\bigtriangleup OAC$和$\bigtriangleup BAD$的面积之差为
(
A.3
B.4
C.2
D.6
象限的图象经过点$B$，则$\bigtriangleup OAC$和$\bigtriangleup BAD$的面积之差为
(
D
)A.3
B.4
C.2
D.6
答案：4.D
解析：
解：设 $ OC = a $，$ BD = b $。
∵ $ \triangle OAC $ 是等腰直角三角形，$ \angle ACO = 90° $，
∴ $ AC = OC = a $，$ C(a, 0) $，$ A(a, a) $。
∵ $ \triangle BAD $ 是等腰直角三角形，$ \angle ADB = 90° $，
∴ $ AD = BD = b $，$ D(a + b, a) $，$ B(a + b, a - b) $。
∵ 点 $ B $ 在反比例函数 $ y = \frac{12}{x} $ 上，
∴ $ (a + b)(a - b) = 12 $，即 $ a^2 - b^2 = 12 $。
$ S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2}a^2 $，$ S_{\triangle BAD} = \frac{1}{2}b^2 $，
面积之差为 $ \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}(a^2 - b^2) = \frac{1}{2} × 12 = 6 $。
6
∵ $ \triangle OAC $ 是等腰直角三角形，$ \angle ACO = 90° $，
∴ $ AC = OC = a $，$ C(a, 0) $，$ A(a, a) $。
∵ $ \triangle BAD $ 是等腰直角三角形，$ \angle ADB = 90° $，
∴ $ AD = BD = b $，$ D(a + b, a) $，$ B(a + b, a - b) $。
∵ 点 $ B $ 在反比例函数 $ y = \frac{12}{x} $ 上，
∴ $ (a + b)(a - b) = 12 $，即 $ a^2 - b^2 = 12 $。
$ S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2}a^2 $，$ S_{\triangle BAD} = \frac{1}{2}b^2 $，
面积之差为 $ \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}(a^2 - b^2) = \frac{1}{2} × 12 = 6 $。
6
5. 若双曲线$y = \frac{k - 1}{x}$与直线$y = - 3x$无交点，则$k$的取值范围是
k＞1
.答案：5.k＞1
解析：
要使双曲线$y = \frac{k - 1}{x}$与直线$y = - 3x$无交点，联立方程得$\frac{k - 1}{x}=-3x$，整理得$-3x^{2}=k - 1$，即$3x^{2}+k - 1 = 0$。因为两函数无交点，所以此一元二次方程无实数根，判别式$\Delta=0^{2}-4×3×(k - 1)＜0$，解得$k＞1$。
$k＞1$
$k＞1$
6. (2025·南通模拟)已知$y$是$x$的反比例函数，其部分对应值如下表：
如果$a ＜ b$，那么$m$
如果$a ＜ b$，那么$m$
＜
$n$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).答案：6.＜
解析：
解：设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$。
当$x=-2$时，$a = \frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$；当$x=-1$时，$b = \frac{k}{-1}=-k$。
因为$a ＜ b$，所以$-\frac{k}{2} ＜ -k$，解得$k ＜ 0$。
当$x=1$时，$m = \frac{k}{1}=k$；当$x=2$时，$n = \frac{k}{2}$。
因为$k ＜ 0$，所以$k ＜ \frac{k}{2}$，即$m ＜ n$。
＜
当$x=-2$时，$a = \frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$；当$x=-1$时，$b = \frac{k}{-1}=-k$。
因为$a ＜ b$，所以$-\frac{k}{2} ＜ -k$，解得$k ＜ 0$。
当$x=1$时，$m = \frac{k}{1}=k$；当$x=2$时，$n = \frac{k}{2}$。
因为$k ＜ 0$，所以$k ＜ \frac{k}{2}$，即$m ＜ n$。
＜
7. 如图，直线$l$与函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)$的图象交于$A$，$B$两点，与$x$轴交于点$C$，
且$B$恰为线段$AC$的中点，连接$OA$.若$S_{\bigtriangleup OAC} = \frac{7}{2}$，则$k$的值为
且$B$恰为线段$AC$的中点，连接$OA$.若$S_{\bigtriangleup OAC} = \frac{7}{2}$，则$k$的值为
$\frac{7}{3}$
.答案：7.$\frac{7}{3}$
解析：
解：设点$A\left(a,\frac{k}{a}\right)$，点$C(c,0)$。
因为点$B$是线段$AC$的中点，所以点$B$的坐标为$\left(\frac{a+c}{2},\frac{k}{2a}\right)$。
由于点$B$在函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$\frac{k}{2a}=\frac{k}{\frac{a+c}{2}}$，解得$c = 3a$。
已知$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}× c×\frac{k}{a}=\frac{7}{2}$，将$c = 3a$代入，可得$\frac{1}{2}×3a×\frac{k}{a}=\frac{3k}{2}=\frac{7}{2}$，解得$k=\frac{7}{3}$。
$\frac{7}{3}$
因为点$B$是线段$AC$的中点，所以点$B$的坐标为$\left(\frac{a+c}{2},\frac{k}{2a}\right)$。
由于点$B$在函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$\frac{k}{2a}=\frac{k}{\frac{a+c}{2}}$，解得$c = 3a$。
已知$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}× c×\frac{k}{a}=\frac{7}{2}$，将$c = 3a$代入，可得$\frac{1}{2}×3a×\frac{k}{a}=\frac{3k}{2}=\frac{7}{2}$，解得$k=\frac{7}{3}$。
$\frac{7}{3}$
8. (2025·甘肃)如图，一次函数$y = x + 4$的图象交$x$轴于点$A$，交反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$在第二
象限的图象于点$B(-1,a)$.将一次函数$y = x + 4$的图象向下平移$m$个单位长度$(m ＞ 0)$，所得的
图象交$x$轴于点$C$.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 当$\bigtriangleup ABC$的面积为$3$时，求$m$的值.
象限的图象于点$B(-1,a)$.将一次函数$y = x + 4$的图象向下平移$m$个单位长度$(m ＞ 0)$，所得的
图象交$x$轴于点$C$.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 当$\bigtriangleup ABC$的面积为$3$时，求$m$的值.
答案：8.(1)
∵点B(-1,a)在一次函数y=x+4的图象上，
∴-1+4=a，解得a=3.
∴点B的坐标为(-1,3).把B(-1,3)代入y=$\frac{k}{x}$，得3=$\frac{k}{-1}$，解得k=-3.
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{x}$。(2)
∵一次函数y=x+4的图象向下平移m个单位长度(m＞0)后，所得的图象对应的函数解析式为y=x+4-m，
∴易得点C的坐标为(m-4,0).
∵一次函数y=x+4的图象交x轴于点A，
∴点A的坐标为(-4,0).
∴AC=m.
∵点B的坐标为(-1,3)，
∴$S_{\triangle ABC}$=$\frac{1}{2}$m·3=3，
∴m=2。
∵点B(-1,a)在一次函数y=x+4的图象上，
∴-1+4=a，解得a=3.
∴点B的坐标为(-1,3).把B(-1,3)代入y=$\frac{k}{x}$，得3=$\frac{k}{-1}$，解得k=-3.
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{x}$。(2)
∵一次函数y=x+4的图象向下平移m个单位长度(m＞0)后，所得的图象对应的函数解析式为y=x+4-m，
∴易得点C的坐标为(m-4,0).
∵一次函数y=x+4的图象交x轴于点A，
∴点A的坐标为(-4,0).
∴AC=m.
∵点B的坐标为(-1,3)，
∴$S_{\triangle ABC}$=$\frac{1}{2}$m·3=3，
∴m=2。