9. (2025·苏州)如图，一次函数$y = 2x + 4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A$，$B$两点，与函数$y = \frac{k}{x}$
$(k \neq 0,x ＞ 0)$的图象交于点$C$，过点$B$作$x$轴的平行线，与函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)$的图象交于点
$D$，连接$CD$.
(1) 求$A$，$B$两点的坐标；
(2) 若$\bigtriangleup BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形，求$k$的值.
$(k \neq 0,x ＞ 0)$的图象交于点$C$，过点$B$作$x$轴的平行线，与函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)$的图象交于点
$D$，连接$CD$.
(1) 求$A$，$B$两点的坐标；
(2) 若$\bigtriangleup BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形，求$k$的值.
答案：
9.(1)在y=2x+4中，令y=0，得2x+4=0，解得x=-2；令x=0，得y=4.
∴点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(0,4)。
(2)如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E.
∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，
∴CB=CD.
∵CE⊥BD，
∴BE=DE.在y=$\frac{k}{x}$中，令y=4，得x=$\frac{k}{4}$，
∴D($\frac{k}{4}$,4)，
∴BE=DE=$\frac{k}{8}$。在y=$\frac{k}{x}$中，令x=$\frac{k}{8}$，得y=8，
∴C($\frac{k}{8}$,8).
∵点C在一次函数y=2x+4的图象上，
∴8=2×$\frac{k}{8}$+4，解得k=16.
∴k的值为16。
9.(1)在y=2x+4中，令y=0，得2x+4=0，解得x=-2；令x=0，得y=4.
∴点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(0,4)。
(2)如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E.
∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，
∴CB=CD.
∵CE⊥BD，
∴BE=DE.在y=$\frac{k}{x}$中，令y=4，得x=$\frac{k}{4}$，
∴D($\frac{k}{4}$,4)，
∴BE=DE=$\frac{k}{8}$。在y=$\frac{k}{x}$中，令x=$\frac{k}{8}$，得y=8，
∴C($\frac{k}{8}$,8).
∵点C在一次函数y=2x+4的图象上，
∴8=2×$\frac{k}{8}$+4，解得k=16.
∴k的值为16。
10. 如图，一次函数$y = mx + n(m \neq 0)$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象交于点$A(-2,a)$，
$B(b,-1)$，过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$C$，$\bigtriangleup AOC$的面积为$4$.
(1) 分别求出$a$和$b$的值；
(2) 结合图象直接写出当$mx + n ＞ \frac{k}{x}$时$x$的取值范围；
(3) 在$y$轴上取一点$P$，使$PB - PA$取得最大值，求出此时点$P$的坐标.
$B(b,-1)$，过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$C$，$\bigtriangleup AOC$的面积为$4$.
(1) 分别求出$a$和$b$的值；
(2) 结合图象直接写出当$mx + n ＞ \frac{k}{x}$时$x$的取值范围；
(3) 在$y$轴上取一点$P$，使$PB - PA$取得最大值，求出此时点$P$的坐标.
答案：10.(1)
∵△AOC的面积为4，AC⊥x轴，点A的坐标为(-2,a)，
∴AC=$\frac{2×4}{|-2|}$=4，即a=4.
∴点A的坐标为(-2,4).
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0)的图象上，
∴k=-8.
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$.
∵点B(b,-1)在反比例函数y=-$\frac{8}{x}$的图象上，
∴b=8。(2)x＜-2或0＜x＜8。(3)设点A(-2,4)关于y轴的对称点为A'，易知点A'的坐标为(2,4)，则直线A'B与y轴的交点即为所求的点P.设直线A'B对应的函数解析式为y=cx+d.
∵点A'(2,4)，B(8,-1)在直线A'B上，
∴$\begin{cases}2c + d = 4\\8c + d = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = -\frac{5}{6}\\d = \frac{17}{3}\end{cases}$，
∴直线A'B对应的函数解析式为y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{17}{3}$.
∴直线y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{17}{3}$与y轴的交点坐标为(0,$\frac{17}{3}$)，即点P的坐标为(0,$\frac{17}{3}$)。
∵△AOC的面积为4，AC⊥x轴，点A的坐标为(-2,a)，
∴AC=$\frac{2×4}{|-2|}$=4，即a=4.
∴点A的坐标为(-2,4).
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0)的图象上，
∴k=-8.
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$.
∵点B(b,-1)在反比例函数y=-$\frac{8}{x}$的图象上，
∴b=8。(2)x＜-2或0＜x＜8。(3)设点A(-2,4)关于y轴的对称点为A'，易知点A'的坐标为(2,4)，则直线A'B与y轴的交点即为所求的点P.设直线A'B对应的函数解析式为y=cx+d.
∵点A'(2,4)，B(8,-1)在直线A'B上，
∴$\begin{cases}2c + d = 4\\8c + d = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = -\frac{5}{6}\\d = \frac{17}{3}\end{cases}$，
∴直线A'B对应的函数解析式为y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{17}{3}$.
∴直线y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{17}{3}$与y轴的交点坐标为(0,$\frac{17}{3}$)，即点P的坐标为(0,$\frac{17}{3}$)。