解：设点$P$的坐标为$(x,y)$，其中$x ＜ 0$。
因为点$P$在函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$k = xy$。
由于$PA \perp y$轴于点$A$，则点$A$的坐标为$(0,y)$。
又因为$B$是点$A$关于$x$轴的对称点，所以点$B$的坐标为$(0,-y)$。
那么$AB$的长度为$|y - (-y)| = |2y| = 2|y|$，$PA$的长度为点$P$到$y$轴的距离，即$|x|$（因为$x ＜ 0$，所以$|x|=-x$）。
$\triangle PAB$的面积为$\frac{1}{2} × AB × PA = \frac{1}{2} × 2|y| × |x| = |xy|$。
已知$\triangle PAB$的面积为$18$，所以$|xy| = 18$，即$|k| = 18$。
因为$x ＜ 0$，且由函数图象可知点$P$在第二象限，所以$y ＞ 0$，则$k = xy ＜ 0$。
因此，$k = -18$。
答案：C

解：
∵四边形$ABCO$是平行四边形，点$C$在$x$轴上，点$B$坐标为$(1,3)$，
∴点$A$的纵坐标为$3$，设点$A$坐标为$(a,3)$，则点$C$坐标为$(a - 1,0)$，$OC = a - 1$。
∵平行四边形$ABCO$的面积为$6$，
∴$OC×3=6$，即$(a - 1)×3=6$，解得$a=3$。
∴点$A$坐标为$(3,3)$。
∵函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$，
∴$k=3×3=9$。
答案：D

解：设点$A$的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0$，$y＞0$。
因为点$A$在函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$k=xy$。
过点$A$作$y$轴的垂线，交$y$轴于点$B$，则$B$点坐标为$(0,y)$，$AB$的长度为$x$。
$C$是$x$轴上任意一点，设$C$点坐标为$(c,0)$，则$\triangle ABC$中$AB$边上的高为点$C$到$y$轴的距离，即$|c|$。
由于$x＞0$，$c$在$x$轴上，$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× |c|=\frac{1}{2}× x× |c|=2$。
但$k=xy$，且$AB$垂直于$y$轴，$x$轴与$y$轴垂直，故$\triangle ABC$的面积也可表示为以$OB$为底（$OB=y$），以$AB$为高（$AB=x$）的一半（此处$C$在$x$轴上，$OC$的长度不影响以$AB$为底时的高，实际高为$y$方向上的距离，即$y$），即$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× x× y=2$。
因此$\frac{1}{2}xy=2$，即$xy=4$，所以$k=xy=4$。
4

解：设点$A(a,0)$，$a＞0$，点$C(m,n)$，$m＜0$。
因为点$C$在函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$k = mn$。
因为$B$是$AC$的中点，且$B$在$y$轴上，所以$B$的横坐标为$0$，即$\frac{a + m}{2}=0$，得$m=-a$。
$B$的纵坐标为$\frac{0 + n}{2}=\frac{n}{2}$，即$B(0,\frac{n}{2})$。
$\triangle AOC$的面积$S=\frac{1}{2}× OA×|n|=\frac{1}{2}× a×|n| = 5$，则$a|n| = 10$。
因为$m=-a＜0$，$k = mn=-a× n$，且$n$与$k$同号（$x＜0$时，若$k＜0$则$n＞0$），所以$-a× n= - ( - a|n| )=-10$，即$k=-10$。
$-10$

解：设点$A$的坐标为$(a,b)$，其中$a＞0$，$b＞0$。
因为点$A$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$k = ab$。
由于$AB \perp y$轴于点$B$，则$AB = a$，$OB = b$。
已知$CD = 3AB$，所以$CD = 3a$。
四边形$ABCD$的面积可以看作以$CD$为底，$OB$为高的平行四边形的面积，即$S_{四边形ABCD}=CD · OB$。
因为四边形$ABCD$的面积为$4$，所以$3a · b = 4$，即$3ab = 4$。
又因为$k = ab$，所以$3k = 4$，解得$k=\frac{4}{3}$。
故这个反比例函数的解析式为$y = \frac{4}{3x}$。
1

解：设点$A$的坐标为$(a,b)$，其中$a＞0$，$b＞0$。
因为原点$O$是矩形$ABCD$的对称中心，且$AB// x$轴，所以点$C$与点$A$关于原点对称，点$C$的坐标为$(-a,-b)$；点$B$的坐标为$(-a,b)$，点$D$的坐标为$(a,-b)$。
$AB$的长度为$a - (-a) = 2a$，$AD$的长度为$b - (-b) = 2b$。
矩形$ABCD$的面积为$AB × AD = 2a × 2b = 4ab$，已知矩形面积为$4$，则$4ab = 4$，即$ab = 1$。
因为点$A(a,b)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$b = \frac{k}{a}$，即$k = ab = 1$。
故反比例函数的解析式为$y = \frac{1}{x}$。

解：设矩形$OABC$的长$CB = a$，宽$AB = b$。
$\because CE=\frac{1}{3}CB$，$AF = \frac{1}{3}AB$，
$\therefore CE=\frac{1}{3}a$，$AF=\frac{1}{3}b$。
$\triangle COE$的面积为$\frac{1}{2}× CE× OC=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}a× b=\frac{1}{6}ab$，
$\triangle AOF$的面积为$\frac{1}{2}× AF× OA=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}b× a=\frac{1}{6}ab$，
矩形$OABC$的面积为$ab$。
$\therefore$四边形$OEBF$的面积为$ab-\frac{1}{6}ab-\frac{1}{6}ab=\frac{2}{3}ab$。
$\because$四边形$OEBF$的面积为$2$，
$\therefore \frac{2}{3}ab = 2$，解得$ab = 3$。
$\triangle AOF$的面积为$\frac{1}{6}ab=\frac{1}{6}×3=\frac{1}{2}$。
$\because$点$F$在函数$y = \frac{k}{x}(x＞0,k＞0)$的图象上，
$\therefore \triangle AOF$的面积为$\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}$。
$\because k＞0$，$\therefore k = 1$。
答：$k$的值为$1$。