8. 如图，两个反比例函数$y = \frac{4}{x}$和$y = \frac{2}{x}$在第一象限的图象分别是$l_{1}$和$l_{2}$，设点$P$在$l_{1}$上，$PA \perp x$轴于点$A$，交$l_{2}$于点$B$，则$\bigtriangleup POB$的面积为 (
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
A
)A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：8.A
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,0)$，其中$a＞0$。
因为$PA \perp x$轴于点$A$，所以点$P$和点$B$的横坐标均为$a$。
由于点$P$在$l_{1}$：$y = \frac{4}{x}$上，可得点$P$的坐标为$(a,\frac{4}{a})$。
点$B$在$l_{2}$：$y = \frac{2}{x}$上，可得点$B$的坐标为$(a,\frac{2}{a})$。
则$PB = PA - BA=\frac{4}{a}-\frac{2}{a}=\frac{2}{a}$。
$\triangle POB$以$PB$为底，点$O$到直线$PA$（即$x=a$）的距离为高，该距离为$a$。
所以$\triangle POB$的面积为$\frac{1}{2}× PB× a=\frac{1}{2}×\frac{2}{a}× a = 1$。
答案：A
因为$PA \perp x$轴于点$A$，所以点$P$和点$B$的横坐标均为$a$。
由于点$P$在$l_{1}$：$y = \frac{4}{x}$上，可得点$P$的坐标为$(a,\frac{4}{a})$。
点$B$在$l_{2}$：$y = \frac{2}{x}$上，可得点$B$的坐标为$(a,\frac{2}{a})$。
则$PB = PA - BA=\frac{4}{a}-\frac{2}{a}=\frac{2}{a}$。
$\triangle POB$以$PB$为底，点$O$到直线$PA$（即$x=a$）的距离为高，该距离为$a$。
所以$\triangle POB$的面积为$\frac{1}{2}× PB× a=\frac{1}{2}×\frac{2}{a}× a = 1$。
答案：A
9. 如图，$□ OABC$的顶点$O$，$B$在$y$轴上，顶点$A$在反比例函数$y = \frac{k_{1}}{x}(k_{1} ＜ 0)$在第二象限的图象上，顶点$C$在反比例函数$y = \frac{k_{2}}{x}(k_{2} ＞ 0)$在第一象限的图象上，则$□ OABC$的面积为 (
A.$- 2k_{1}$
B.$2k_{2}$
C.$k_{1} + k_{2}$
D.$k_{2} - k_{1}$
D
)A.$- 2k_{1}$
B.$2k_{2}$
C.$k_{1} + k_{2}$
D.$k_{2} - k_{1}$
答案：9.D
解析：
解：设点$B$的坐标为$(0, b)$，点$A$的坐标为$(a, \frac{k_{1}}{a})$，其中$a ＜ 0$。
因为$OABC$是平行四边形，所以向量$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BC}$。
点$O$为原点$(0,0)$，则点$C$的坐标为$(-a, b - \frac{k_{1}}{a})$。
由于点$C$在反比例函数$y = \frac{k_{2}}{x}$上，代入得：
$b - \frac{k_{1}}{a} = \frac{k_{2}}{-a}$
化简得：$ab = k_{2} - k_{1}$。
平行四边形$OABC$的面积为$OB × |a| = b × (-a) = -ab = k_{2} - k_{1}$。
结论：$k_{2} - k_{1}$
D
因为$OABC$是平行四边形，所以向量$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BC}$。
点$O$为原点$(0,0)$，则点$C$的坐标为$(-a, b - \frac{k_{1}}{a})$。
由于点$C$在反比例函数$y = \frac{k_{2}}{x}$上，代入得：
$b - \frac{k_{1}}{a} = \frac{k_{2}}{-a}$
化简得：$ab = k_{2} - k_{1}$。
平行四边形$OABC$的面积为$OB × |a| = b × (-a) = -ab = k_{2} - k_{1}$。
结论：$k_{2} - k_{1}$
D
10. 如图，点$A$在函数$y = \frac{1}{x}(x ＞ 0)$的图象上，$B$，$C$两点在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，$BC$经过原点，$AB \perp x$轴.若$\bigtriangleup ABC$的面积为$4$，则$k$的值为
-3
.答案：10.$-3$
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$）。
因为$AB \perp x$轴，所以点$B$的横坐标为$a$。
又因为点$B$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以点$B$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$。
由于$BC$经过原点，设点$C$的坐标为$(b,\frac{k}{b})$，则点$B$与点$C$关于原点对称，即$b=-a$，所以点$C$的坐标为$(-a,-\frac{k}{a})$。
$AB$的长度为$\left|\frac{1}{a}-\frac{k}{a}\right|=\frac{|1 - k|}{a}$，点$C$到直线$AB$（$x=a$）的距离为$a - (-a)=2a$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB×$距离$=\frac{1}{2}×\frac{|1 - k|}{a}×2a=|1 - k|$。
已知$\triangle ABC$的面积为$4$，则$|1 - k|=4$。
因为点$B$在第四象限（由图可知），所以$\frac{k}{a}＜0$，又$a＞0$，则$k＜0$，所以$1 - k＞0$，即$1 - k=4$，解得$k=-3$。
故$k$的值为$-3$。
因为$AB \perp x$轴，所以点$B$的横坐标为$a$。
又因为点$B$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以点$B$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$。
由于$BC$经过原点，设点$C$的坐标为$(b,\frac{k}{b})$，则点$B$与点$C$关于原点对称，即$b=-a$，所以点$C$的坐标为$(-a,-\frac{k}{a})$。
$AB$的长度为$\left|\frac{1}{a}-\frac{k}{a}\right|=\frac{|1 - k|}{a}$，点$C$到直线$AB$（$x=a$）的距离为$a - (-a)=2a$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB×$距离$=\frac{1}{2}×\frac{|1 - k|}{a}×2a=|1 - k|$。
已知$\triangle ABC$的面积为$4$，则$|1 - k|=4$。
因为点$B$在第四象限（由图可知），所以$\frac{k}{a}＜0$，又$a＞0$，则$k＜0$，所以$1 - k＞0$，即$1 - k=4$，解得$k=-3$。
故$k$的值为$-3$。
11. 双曲线$C_{1}$：$y = \frac{k_{1}}{x}$和$C_{2}$：$y = \frac{k_{2}}{x}$位于第二象限的部分如图所示，$A$是$C_{1}$上一点，分别过点$A$作$AB \perp x$轴，$AC \perp y$轴，垂足分别为$B$，$C$，$AB$，$AC$与$C_{2}$分别交于点$D$，$E$.若四边形$ADOE$的面积为$4$，则$k_{1} - k_{2} =$
-4
.答案：11.$-4$
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,b)$，其中$a＜0$，$b＞0$。
因为点$A$在双曲线$C_{1}$：$y = \frac{k_{1}}{x}$上，所以$k_{1}=ab$。
由于$AB \perp x$轴，垂足为$B$，则点$B$的坐标为$(a,0)$，点$D$在$AB$上，其横坐标为$a$。又因为点$D$在双曲线$C_{2}$：$y = \frac{k_{2}}{x}$上，所以点$D$的纵坐标为$\frac{k_{2}}{a}$，即$D\left(a,\frac{k_{2}}{a}\right)$。
同理，$AC \perp y$轴，垂足为$C$，点$C$的坐标为$(0,b)$，点$E$在$AC$上，其纵坐标为$b$。因为点$E$在双曲线$C_{2}$上，所以点$E$的横坐标为$\frac{k_{2}}{b}$，即$E\left(\frac{k_{2}}{b},b\right)$。
四边形$ADOE$的面积可以看作矩形$ABOC$的面积减去三角形$OBD$和三角形$OCE$的面积。
矩形$ABOC$的面积为$|a| · |b|=-a · b=-ab$（因为$a＜0$，$b＞0$）。
三角形$OBD$的面积为$\frac{1}{2} × |a| × \left|\frac{k_{2}}{a}\right|=\frac{1}{2} × (-a) × \left(-\frac{k_{2}}{a}\right)=\frac{1}{2}|k_{2}|$。由于双曲线$C_{2}$在第二象限，所以$k_{2}＜0$，则$|k_{2}|=-k_{2}$，故三角形$OBD$的面积为$\frac{1}{2}(-k_{2})=-\frac{k_{2}}{2}$。
同理，三角形$OCE$的面积为$\frac{1}{2} × \left|\frac{k_{2}}{b}\right| × |b|=\frac{1}{2} × \left(-\frac{k_{2}}{b}\right) × b=-\frac{k_{2}}{2}$。
已知四边形$ADOE$的面积为$4$，则有：
$-ab - \left(-\frac{k_{2}}{2}\right) - \left(-\frac{k_{2}}{2}\right)=4$
化简得：
$-ab + k_{2}=4$
又因为$k_{1}=ab$，所以$-k_{1} + k_{2}=4$，即$k_{1}-k_{2}=-4$。
故答案为$-4$。
因为点$A$在双曲线$C_{1}$：$y = \frac{k_{1}}{x}$上，所以$k_{1}=ab$。
由于$AB \perp x$轴，垂足为$B$，则点$B$的坐标为$(a,0)$，点$D$在$AB$上，其横坐标为$a$。又因为点$D$在双曲线$C_{2}$：$y = \frac{k_{2}}{x}$上，所以点$D$的纵坐标为$\frac{k_{2}}{a}$，即$D\left(a,\frac{k_{2}}{a}\right)$。
同理，$AC \perp y$轴，垂足为$C$，点$C$的坐标为$(0,b)$，点$E$在$AC$上，其纵坐标为$b$。因为点$E$在双曲线$C_{2}$上，所以点$E$的横坐标为$\frac{k_{2}}{b}$，即$E\left(\frac{k_{2}}{b},b\right)$。
四边形$ADOE$的面积可以看作矩形$ABOC$的面积减去三角形$OBD$和三角形$OCE$的面积。
矩形$ABOC$的面积为$|a| · |b|=-a · b=-ab$（因为$a＜0$，$b＞0$）。
三角形$OBD$的面积为$\frac{1}{2} × |a| × \left|\frac{k_{2}}{a}\right|=\frac{1}{2} × (-a) × \left(-\frac{k_{2}}{a}\right)=\frac{1}{2}|k_{2}|$。由于双曲线$C_{2}$在第二象限，所以$k_{2}＜0$，则$|k_{2}|=-k_{2}$，故三角形$OBD$的面积为$\frac{1}{2}(-k_{2})=-\frac{k_{2}}{2}$。
同理，三角形$OCE$的面积为$\frac{1}{2} × \left|\frac{k_{2}}{b}\right| × |b|=\frac{1}{2} × \left(-\frac{k_{2}}{b}\right) × b=-\frac{k_{2}}{2}$。
已知四边形$ADOE$的面积为$4$，则有：
$-ab - \left(-\frac{k_{2}}{2}\right) - \left(-\frac{k_{2}}{2}\right)=4$
化简得：
$-ab + k_{2}=4$
又因为$k_{1}=ab$，所以$-k_{1} + k_{2}=4$，即$k_{1}-k_{2}=-4$。
故答案为$-4$。
12. 如图，点$B(m,n)$在函数$y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$的图象上，过点$B$分别作$x$轴和$y$轴的平行线，交函数$y = \frac{3}{x}(x ＞ 0)$的图象于点$A$，$C$，连接$OA$，$OC$，$AC$.
(1)若点$B$的坐标为$(2,3)$，求点$A$的坐标和直线$OC$对应的函数解析式.
(2)若$B$为函数图象上的动点，则四边形$OABC$的面积是否变化？若不变，请说明理由；若变化，请用含$m$的代数式表示四边形$OABC$的面积.
(3)当$OC$平分$OA$与$x$轴正半轴的夹角时，求证：$AC$是$\angle OAB$的平分线.
(1)若点$B$的坐标为$(2,3)$，求点$A$的坐标和直线$OC$对应的函数解析式.
(2)若$B$为函数图象上的动点，则四边形$OABC$的面积是否变化？若不变，请说明理由；若变化，请用含$m$的代数式表示四边形$OABC$的面积.
(3)当$OC$平分$OA$与$x$轴正半轴的夹角时，求证：$AC$是$\angle OAB$的平分线.
答案：
12.（1）$\because B(2,3)$，$AB // x$轴，$BC // y$轴，$\therefore$点$A$的纵坐标为$3$，点$C$的横坐标为$2$。又$\because$点$A$，$C$在函数$y = \frac{3}{x}$的图象上，$\therefore$易得$A(1,3)$，$C(2,\frac{3}{2})$。设直线$OC$对应的函数解析式为$y = kx$，$\therefore 2k = \frac{3}{2}$。$\therefore k = \frac{3}{4}$。$\therefore$直线$OC$对应的函数解析式为$y = \frac{3}{4}x$
（2）不变 理由：如图，延长$BA$，$BC$，分别交$y$轴于点$M$，交$x$轴于点$N$，则由题意可知，$BM // x$轴，$BN // y$轴，$\therefore S_{四边形BMON} = 6$，$S_{\triangle AOM} = S_{\triangle CON} = \frac{1}{2} × 3 = \frac{3}{2}$。$\therefore S_{四边形OABC} = S_{四边形BMON} - S_{\triangle AOM} - S_{\triangle CON} = 3$。$\therefore$四边形$OABC$的面积不变。
（3）如图，过点$C$作$CD \perp OA$于点$D$。由题意可知$CB \perp AB$，$CN \perp x$轴。$\because OC$平分$OA$与$x$轴正半轴的夹角，$\therefore CD = CN$。$\because$点$B(m,n)$在函数$y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$的图象上，点$C$在函数$y = \frac{3}{x}(x ＞ 0)$的图象上，$BC // y$轴，$\therefore$易得$B(m,\frac{6}{m})$，$C(m,\frac{3}{m})$。$\therefore BN = \frac{6}{m}$，$CN = \frac{3}{m}$。$\therefore BN = 2CN$。$\therefore BC = CN$。$\therefore CD = CB$。$\because CD \perp OA$，$CB \perp AB$，$\therefore AC$是$\angle OAB$的平分线
12.（1）$\because B(2,3)$，$AB // x$轴，$BC // y$轴，$\therefore$点$A$的纵坐标为$3$，点$C$的横坐标为$2$。又$\because$点$A$，$C$在函数$y = \frac{3}{x}$的图象上，$\therefore$易得$A(1,3)$，$C(2,\frac{3}{2})$。设直线$OC$对应的函数解析式为$y = kx$，$\therefore 2k = \frac{3}{2}$。$\therefore k = \frac{3}{4}$。$\therefore$直线$OC$对应的函数解析式为$y = \frac{3}{4}x$
（2）不变 理由：如图，延长$BA$，$BC$，分别交$y$轴于点$M$，交$x$轴于点$N$，则由题意可知，$BM // x$轴，$BN // y$轴，$\therefore S_{四边形BMON} = 6$，$S_{\triangle AOM} = S_{\triangle CON} = \frac{1}{2} × 3 = \frac{3}{2}$。$\therefore S_{四边形OABC} = S_{四边形BMON} - S_{\triangle AOM} - S_{\triangle CON} = 3$。$\therefore$四边形$OABC$的面积不变。
（3）如图，过点$C$作$CD \perp OA$于点$D$。由题意可知$CB \perp AB$，$CN \perp x$轴。$\because OC$平分$OA$与$x$轴正半轴的夹角，$\therefore CD = CN$。$\because$点$B(m,n)$在函数$y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$的图象上，点$C$在函数$y = \frac{3}{x}(x ＞ 0)$的图象上，$BC // y$轴，$\therefore$易得$B(m,\frac{6}{m})$，$C(m,\frac{3}{m})$。$\therefore BN = \frac{6}{m}$，$CN = \frac{3}{m}$。$\therefore BN = 2CN$。$\therefore BC = CN$。$\therefore CD = CB$。$\because CD \perp OA$，$CB \perp AB$，$\therefore AC$是$\angle OAB$的平分线