1. 如图，一次函数 $y = x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$($k$ 为常数，且 $k \neq 0$)的图象相交于 $A(-1$，$m)$，$B$ 两点.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 将一次函数 $y = x + 5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位长度($b ＞ 0$)，使平移后的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$($k$ 为常数，且 $k \neq 0$)的图象有且只有一个交点，求 $b$ 的值.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 将一次函数 $y = x + 5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位长度($b ＞ 0$)，使平移后的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$($k$ 为常数，且 $k \neq 0$)的图象有且只有一个交点，求 $b$ 的值.
答案：1. （1）
∵一次函数$y=x+5$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k \neq 0$）的图象都经过点$A(-1,m)$，
∴$m=-1+5=4$，即点$A$的坐标为$(-1,4)$。
∴$k=-1 × 4=-4$。
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
（2）
∵将一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b$个单位长度$(b＞0)$，
∴平移后的图象对应的函数解析式为$y=x+5-b$。令$x+5-b=-\frac{4}{x}$，则$x^2+(5-b)x+4=0$。
∵平移后的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有且只有一个交点，
∴$\Delta=(5-b)^2-16=0$，解得$b=9$或$b=1$。
∴$b$的值为$9$或$1$。
∵一次函数$y=x+5$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k \neq 0$）的图象都经过点$A(-1,m)$，
∴$m=-1+5=4$，即点$A$的坐标为$(-1,4)$。
∴$k=-1 × 4=-4$。
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
（2）
∵将一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b$个单位长度$(b＞0)$，
∴平移后的图象对应的函数解析式为$y=x+5-b$。令$x+5-b=-\frac{4}{x}$，则$x^2+(5-b)x+4=0$。
∵平移后的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有且只有一个交点，
∴$\Delta=(5-b)^2-16=0$，解得$b=9$或$b=1$。
∴$b$的值为$9$或$1$。
2. 如图，一次函数 $y = kx + b(k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$ 的图象交于 $A$，$B$ 两点，点 $A$ 的坐标为$(-2,3)$，点 $B$ 的坐标为$(6,n)$.
(1) $m =$
(2) 当 $kx + b ＞ \frac{m}{x}$ 时，$x$ 的取值范围是
(3) 过点 $B$ 作 $BC \perp y$ 轴于点 $C$，连接 $AC$，过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 于点 $D$，求线段 $CD$ 的长.
(1) $m =$
-6
，$n =$-1
；(2) 当 $kx + b ＞ \frac{m}{x}$ 时，$x$ 的取值范围是
$x＜-2$或$0＜x＜6$
；(3) 过点 $B$ 作 $BC \perp y$ 轴于点 $C$，连接 $AC$，过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 于点 $D$，求线段 $CD$ 的长.
答案：2. （1）$-6$ $-1$
（2）$x＜-2$或$0＜x＜6$
（3）设点$A$到$BC$的距离为$h$。
∵$BC \bot y$轴，$B(6,-1)$，$A(-2,3)$，
∴$BC=6$，$h=3-(-1)=4$，$AB=\sqrt{(-2-6)^2+[3-(-1)]^2}=4\sqrt{5}$。
∵$CD \bot AB$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC · h=\frac{1}{2}AB · CD$。
∴$CD=\frac{BC · h}{AB}=\frac{6 × 4}{4\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
（2）$x＜-2$或$0＜x＜6$
（3）设点$A$到$BC$的距离为$h$。
∵$BC \bot y$轴，$B(6,-1)$，$A(-2,3)$，
∴$BC=6$，$h=3-(-1)=4$，$AB=\sqrt{(-2-6)^2+[3-(-1)]^2}=4\sqrt{5}$。
∵$CD \bot AB$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC · h=\frac{1}{2}AB · CD$。
∴$CD=\frac{BC · h}{AB}=\frac{6 × 4}{4\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
3. (2024·雅安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 $l$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象交于 $M(\frac{1}{2},4)$，$N(n,1)$ 两点.
(1) 求反比例函数及一次函数的解析式；
(2) 求 $\triangle OMN$ 的面积；
(3) 若 $P$ 是 $y$ 轴上一动点，连接 $PM$，$PN$，当 $PM + PN$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标.
(1) 求反比例函数及一次函数的解析式；
(2) 求 $\triangle OMN$ 的面积；
(3) 若 $P$ 是 $y$ 轴上一动点，连接 $PM$，$PN$，当 $PM + PN$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标.
答案：
3. （1）
∵点$M(\frac{1}{2},4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k \neq 0$）的图象上，
∴$k=\frac{1}{2} × 4=2$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。又
∵点$N(n,1)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴$n=2$。
∴$N(2,1)$。设一次函数的解析式为$y=ax+b$，
∴$\begin{cases} \frac{1}{2}a+b=4 \\ 2a+b=1 \end{cases}$。
解得$\begin{cases} a=-2 \\ b=5 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y=-2x+5$。
（2）如图，设一次函数的图象$l$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，则易得$A(\frac{5}{2},0)$，$B(0,5)$。
∴$OA=\frac{5}{2}$，$OB=5$。
∴$S_{\triangle OMN}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AON}-S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2} × AO × BO-\frac{1}{2} × AO × y_N-\frac{1}{2} × BO × x_M=\frac{1}{2} × \frac{5}{2} × 5-\frac{1}{2} × \frac{5}{2} × 1-\frac{1}{2} × 5 × \frac{1}{2}=\frac{15}{4}$。
（3）如图，作点$M$关于$y$轴的对称点$M'$，连接$M'N$，则$M'N$与$y$轴的交点即为$P$，此时$PM+PN$的值最小，为$M'N$的长。
∵点$M(\frac{1}{2},4)$与点$M'$关于$y$轴对称，
∴点$M'$的坐标为$(-\frac{1}{2},4)$。又
∵$N(2,1)$，
∴易得直线$M'N$对应的函数解析式为$y=-\frac{6}{5}x+\frac{17}{5}$。令$x=0$，则$y=\frac{17}{5}$，
∴$P(0,\frac{17}{5})$。
3. （1）
∵点$M(\frac{1}{2},4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k \neq 0$）的图象上，
∴$k=\frac{1}{2} × 4=2$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。又
∵点$N(n,1)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴$n=2$。
∴$N(2,1)$。设一次函数的解析式为$y=ax+b$，
∴$\begin{cases} \frac{1}{2}a+b=4 \\ 2a+b=1 \end{cases}$。
解得$\begin{cases} a=-2 \\ b=5 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y=-2x+5$。
（2）如图，设一次函数的图象$l$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，则易得$A(\frac{5}{2},0)$，$B(0,5)$。
∴$OA=\frac{5}{2}$，$OB=5$。
∴$S_{\triangle OMN}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AON}-S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2} × AO × BO-\frac{1}{2} × AO × y_N-\frac{1}{2} × BO × x_M=\frac{1}{2} × \frac{5}{2} × 5-\frac{1}{2} × \frac{5}{2} × 1-\frac{1}{2} × 5 × \frac{1}{2}=\frac{15}{4}$。
（3）如图，作点$M$关于$y$轴的对称点$M'$，连接$M'N$，则$M'N$与$y$轴的交点即为$P$，此时$PM+PN$的值最小，为$M'N$的长。
∵点$M(\frac{1}{2},4)$与点$M'$关于$y$轴对称，
∴点$M'$的坐标为$(-\frac{1}{2},4)$。又
∵$N(2,1)$，
∴易得直线$M'N$对应的函数解析式为$y=-\frac{6}{5}x+\frac{17}{5}$。令$x=0$，则$y=\frac{17}{5}$，
∴$P(0,\frac{17}{5})$。