4. (2025·泸州)如图，一次函数 $y = 2x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象的一个交点为 $A(2,6)$.
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式；
(2) 将一次函数 $y = 2x + b$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $12$ 个单位长度，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于点 $B$，$C$，求 $S_{\triangle ABC}$ 的值.
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式；
(2) 将一次函数 $y = 2x + b$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $12$ 个单位长度，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于点 $B$，$C$，求 $S_{\triangle ABC}$ 的值.
答案：
4. （1）
∵一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$6=2 × 2+b$。
∴$b=2$。
∴一次函数的解析式为$y=2x+2$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$m=12$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
（2）将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移$12$个单位长度，与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B$，$C$，
∴直线$BC$对应的函数解析式为$y=2x+2-12=2x-10$。联立$\begin{cases} y=2x-10 \\ y=\frac{12}{x} \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1 \\ y=-12 \end{cases}$或$\begin{cases} x=6 \\ y=2 \end{cases}$。
∴$B(-1,-12)$，$C(6,2)$。如图，过点$A$作$AT // y$轴，交直线$BC$于点$T$。
∵$A(2,6)$，
∴点$T$的横坐标为$2$。在$y=2x-10$中，当$x=2$时，$y=2 × 2-10=-6$。
∴$T(2,-6)$。
∴$AT=6-(-6)=12$。
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABT}+S_{\triangle ACT}=\frac{1}{2} × 12 × [2-(-1)]+\frac{1}{2} × 12 × (6-2)=18+24=42$。
4. （1）
∵一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$6=2 × 2+b$。
∴$b=2$。
∴一次函数的解析式为$y=2x+2$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$m=12$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
（2）将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移$12$个单位长度，与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B$，$C$，
∴直线$BC$对应的函数解析式为$y=2x+2-12=2x-10$。联立$\begin{cases} y=2x-10 \\ y=\frac{12}{x} \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1 \\ y=-12 \end{cases}$或$\begin{cases} x=6 \\ y=2 \end{cases}$。
∴$B(-1,-12)$，$C(6,2)$。如图，过点$A$作$AT // y$轴，交直线$BC$于点$T$。
∵$A(2,6)$，
∴点$T$的横坐标为$2$。在$y=2x-10$中，当$x=2$时，$y=2 × 2-10=-6$。
∴$T(2,-6)$。
∴$AT=6-(-6)=12$。
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABT}+S_{\triangle ACT}=\frac{1}{2} × 12 × [2-(-1)]+\frac{1}{2} × 12 × (6-2)=18+24=42$。
5. (2024·如皋期末)如图，一次函数 $y = -x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{n}{x}(n ＞ 0)$ 在第一象限的图象交于点 $A(4,a)$ 和点 $B$.
(1) 求 $n$ 的值.
(2) 点 $P$ 在线段 $AB$ 上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交反比例函数 $y = \frac{n}{x}(n ＞ 0)$ 在第一象限的图象于点 $Q$，连接 $OP$，$OQ$. 若 $\triangle POQ$ 的面积为 $1$，求点 $P$ 的坐标.
(1) 求 $n$ 的值.
(2) 点 $P$ 在线段 $AB$ 上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交反比例函数 $y = \frac{n}{x}(n ＞ 0)$ 在第一象限的图象于点 $Q$，连接 $OP$，$OQ$. 若 $\triangle POQ$ 的面积为 $1$，求点 $P$ 的坐标.
答案：5. （1）
∵一次函数$y=-x+5$的图象经过点$A(4,a)$，
∴$a=-4+5=1$。
∴点$A$的坐标为$(4,1)$。
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{n}{x}$（$n＞0$）在第一象限的图象上，
∴$n=4 × 1=4$。
（2）联立$\begin{cases} y=-x+5 \\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases}$。
∴$B(1,4)$。设$P(t,-t+5)(1 \leq t \leq 4)$，则$Q(t,\frac{4}{t})$。
∴$PQ=-t+5-\frac{4}{t}$。
∵$\triangle POQ$的面积为$1$，
∴$\frac{1}{2}PQ · x_P=1$，即$\frac{1}{2}(-t+5-\frac{4}{t}) · t=1$，解得$t=2$或$t=3$。经检验，$t=2$或$t=3$均是原分式方程的解，且符合题意。
∴点$P$的坐标为$(2,3)$或$(3,2)$。
∵一次函数$y=-x+5$的图象经过点$A(4,a)$，
∴$a=-4+5=1$。
∴点$A$的坐标为$(4,1)$。
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{n}{x}$（$n＞0$）在第一象限的图象上，
∴$n=4 × 1=4$。
（2）联立$\begin{cases} y=-x+5 \\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases}$。
∴$B(1,4)$。设$P(t,-t+5)(1 \leq t \leq 4)$，则$Q(t,\frac{4}{t})$。
∴$PQ=-t+5-\frac{4}{t}$。
∵$\triangle POQ$的面积为$1$，
∴$\frac{1}{2}PQ · x_P=1$，即$\frac{1}{2}(-t+5-\frac{4}{t}) · t=1$，解得$t=2$或$t=3$。经检验，$t=2$或$t=3$均是原分式方程的解，且符合题意。
∴点$P$的坐标为$(2,3)$或$(3,2)$。