解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{4}{a})$（$a＞0$），
因为正比例函数$y = kx$与反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象均关于原点对称，
所以点$A$与点$C$关于原点对称，故点$C$的坐标为$(-a,-\frac{4}{a})$。
过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$B$，则点$B$的坐标为$(a,0)$。
$\triangle ABC$的面积可看作以$AB$为底，点$C$与点$B$的水平距离为高的三角形面积。
$AB$的长度为点$A$的纵坐标的绝对值，即$\left|\frac{4}{a}\right|=\frac{4}{a}$。
点$C$与点$B$的水平距离为$a - (-a)=2a$。
所以$\triangle ABC$的面积为：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× 水平距离=\frac{1}{2}×\frac{4}{a}× 2a = 4$
答案：C

解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$）。
因为$AC// y$轴，$BC// x$轴，所以点$C$的坐标为$(a,b)$，点$B$的坐标为$(0,b)$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× a× (b - \frac{k}{a})=8$，即$\frac{1}{2}(ab - k)=8$，化简得$ab - k=16$，则$ab=k + 16$。
因为$D$为$BC$的中点，$B(0,b)$，$C(a,b)$，所以点$D$的坐标为$(\frac{a}{2},b)$。
又因为点$D$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$b=\frac{k}{\frac{a}{2}}=\frac{2k}{a}$，即$ab = 2k$。
由$ab=k + 16$和$ab = 2k$，可得$2k=k + 16$，解得$k=16$。
答案：C

解：联立方程$\begin{cases}y = kx \\ y = \frac{6}{x}\end{cases}$，得$kx=\frac{6}{x}$，$x^2 = \frac{6}{k}$，解得$x = \pm\sqrt{\frac{6}{k}}$。
设$A\left(\sqrt{\frac{6}{k}}, k\sqrt{\frac{6}{k}}\right)$，则$B\left(-\sqrt{\frac{6}{k}}, -k\sqrt{\frac{6}{k}}\right)$。
因为$BC// x$轴，$AC// y$轴，所以点$C$的横坐标为$\sqrt{\frac{6}{k}}$，纵坐标为$-k\sqrt{\frac{6}{k}}$。
$AC$的长度为$k\sqrt{\frac{6}{k}} - \left(-k\sqrt{\frac{6}{k}}\right) = 2k\sqrt{\frac{6}{k}}$，$BC$的长度为$\sqrt{\frac{6}{k}} - \left(-\sqrt{\frac{6}{k}}\right) = 2\sqrt{\frac{6}{k}}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× 2k\sqrt{\frac{6}{k}}× 2\sqrt{\frac{6}{k}} = 2k×\frac{6}{k}=12$。
12

解：联立$\begin{cases}y=-\dfrac{2}{3}x \\ y=\dfrac{k}{x}(x＜0)\end{cases}$，得$-\dfrac{2}{3}x=\dfrac{k}{x}$，$x^{2}=-\dfrac{3k}{2}$，$x=-\sqrt{-\dfrac{3k}{2}}$（$x＜0$），则$y=-\dfrac{2}{3}×(-\sqrt{-\dfrac{3k}{2}})=\dfrac{2}{3}\sqrt{-\dfrac{3k}{2}}$，故$A\left(-\sqrt{-\dfrac{3k}{2}},\dfrac{2}{3}\sqrt{-\dfrac{3k}{2}}\right)$。
联立$\begin{cases}y=-\dfrac{2}{3}x + 2 \\ y=\dfrac{k}{x}(x＜0)\end{cases}$，得$-\dfrac{2}{3}x + 2=\dfrac{k}{x}$，$-2x^{2}+6x=3k$，$2x^{2}-6x + 3k=0$，解得$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36 - 24k}}{4}=\dfrac{3\pm\sqrt{9 - 6k}}{2}$，因$x＜0$，取$x=\dfrac{3 - \sqrt{9 - 6k}}{2}$，则$y=-\dfrac{2}{3}×\dfrac{3 - \sqrt{9 - 6k}}{2}+2=-\left(1 - \dfrac{\sqrt{9 - 6k}}{3}\right)+2=1 + \dfrac{\sqrt{9 - 6k}}{3}$，故$B\left(\dfrac{3 - \sqrt{9 - 6k}}{2},1 + \dfrac{\sqrt{9 - 6k}}{3}\right)$。
直线$y=-\dfrac{2}{3}x + 2$与$y$轴交于点$C(0,2)$，直线$y=-\dfrac{2}{3}x$与$y$轴交于原点$O$。
$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle OBC}-S_{\triangle OAC}$，$S_{\triangle OBC}=\dfrac{1}{2}×2×\left|x_{B}\right|=\left|x_{B}\right|=-\dfrac{3 - \sqrt{9 - 6k}}{2}$（$x_{B}＜0$），$S_{\triangle OAC}=\dfrac{1}{2}×2×\left|x_{A}\right|=\left|x_{A}\right|=\sqrt{-\dfrac{3k}{2}}$（$x_{A}＜0$）。
由$S_{\triangle OAB}=3$，得$-\dfrac{3 - \sqrt{9 - 6k}}{2}-\sqrt{-\dfrac{3k}{2}}=3$，解得$k=-6$。
$-6$

解：
∵点$P(2,3)$，$PC \perp x$轴于$C$，$PD \perp y$轴于$D$，
∴$OC=2$，$OD=3$，矩形$OCPD$面积为$2×3=6$。
∵点$A$在$y=\frac{2}{x}$上且横坐标为$2$，
∴$A(2,1)$，则$\triangle OAC$面积为$\frac{1}{2}×OC×y_A=\frac{1}{2}×2×1=1$。
∵点$B$在$y=\frac{2}{x}$上且纵坐标为$3$，
∴$B(\frac{2}{3},3)$，则$\triangle OBD$面积为$\frac{1}{2}×OD×x_B=\frac{1}{2}×3×\frac{2}{3}=1$。
∴四边形$BOAP$面积=矩形$OCPD$面积$-\triangle OAC$面积$-\triangle OBD$面积$=6-1-1=4$。
答案：C

解：
∵四边形$ABCD$是菱形，$AC$与$BD$交于原点$O$，
∴$OA=OC$，$OB=OD$，$AC⊥BD$，$AB=BC$。
∵$\angle ABC=60°$，
∴$\triangle ABC$是等边三角形，$AC=AB$。
点$A(1,1)$，则$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=2OA=2\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{2}$。
设$AC$所在直线解析式为$y=x$（过原点且$A(1,1)$），则$BD$所在直线斜率为$-1$（垂直），设$B(-m,m)$，$D(m,-m)$（$m＞0$）。
$AB$距离：$\sqrt{(1+m)^2+(1-m)^2}=2\sqrt{2}$，
平方得：$(1+m)^2+(1-m)^2=8$，
展开：$1+2m+m^2+1-2m+m^2=8$，
即$2m^2+2=8$，$m^2=3$，$m=\sqrt{3}$。
∴$B(-\sqrt{3},\sqrt{3})$，代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=(-\sqrt{3})×\sqrt{3}=-3$。
$-3$

解：设点$A(a,0)$，$B(b,0)$，则$AB = b - a$。
因为$AD \perp x$轴，点$D$在函数$y = \frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，所以点$D(a,\frac{k}{a})$。
由于四边形$ABCD$是平行四边形，所以$C(b,\frac{k}{a})$。
设直线$CE$的解析式为$y = mx + n$，将$A(a,0)$，$C(b,\frac{k}{a})$代入得：
$\begin{cases}am + n = 0 \\bm + n = \frac{k}{a}\end{cases}$
解得$m = \frac{k}{a(b - a)}$，$n = -\frac{k}{b - a}$，所以$E(0,-\frac{k}{b - a})$。
$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} × AB × |y_E| = \frac{1}{2}(b - a) × \frac{k}{b - a} = \frac{k}{2} = \frac{3}{2}$，解得$k = 3$。
故答案为$3$。