8. 如图，正方形$ABCD$的顶点$A$，$B$分别在$y$轴正半轴和$x$轴正半轴上，过点$C$的函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图象交正方形$ABCD$的对角线$BD$于点$E$.若正方形$ABCD$的面积为$40$，且$E$是$BD$的中点，则$k$的值为
16
.答案：8.16 解析:过点C作CG⊥x轴于点G，连接AC.设C(a,$\frac{k}{a}$)，则OG=a，CG=$\frac{k}{a}$.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∴∠ABO+∠GBC=90°.
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°.
∴∠OAB=∠GBC.又
∵∠AOB=∠BGC=90°，
∴△AOB≌△BGC.
∴OB=GC=$\frac{k}{a}$，AO=BG.又
∵OG=OB+BG=a，
∴AO=BG=OG−OB=a−$\frac{k}{a}$.
∴A(0,a−$\frac{k}{a}$).
∵四边形ABCD为正方形，
∴对角线AC与BD互相平分.
∵E是BD的中点，
∴E是AC的中点.
∴E($\frac{a}{2}$,$\frac{a}{2}$).
∵点E在函数y=$\frac{k}{x}$(k＞0,x＞0)的图象上，
∴k=$\frac{1}{4}$a².
∴a²=4k.
∵正方形ABCD的面积为AB²=40，且AB²=AO²+OB²，
∴(a−$\frac{k}{a}$)²+($\frac{k}{a}$)²=40.
∴a²−2k+2×$\frac{k²}{a²}$=40.
∴2k+$\frac{1}{2}$k=40.
∴k=16.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∴∠ABO+∠GBC=90°.
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°.
∴∠OAB=∠GBC.又
∵∠AOB=∠BGC=90°，
∴△AOB≌△BGC.
∴OB=GC=$\frac{k}{a}$，AO=BG.又
∵OG=OB+BG=a，
∴AO=BG=OG−OB=a−$\frac{k}{a}$.
∴A(0,a−$\frac{k}{a}$).
∵四边形ABCD为正方形，
∴对角线AC与BD互相平分.
∵E是BD的中点，
∴E是AC的中点.
∴E($\frac{a}{2}$,$\frac{a}{2}$).
∵点E在函数y=$\frac{k}{x}$(k＞0,x＞0)的图象上，
∴k=$\frac{1}{4}$a².
∴a²=4k.
∵正方形ABCD的面积为AB²=40，且AB²=AO²+OB²，
∴(a−$\frac{k}{a}$)²+($\frac{k}{a}$)²=40.
∴a²−2k+2×$\frac{k²}{a²}$=40.
∴2k+$\frac{1}{2}$k=40.
∴k=16.
9. 如图，在平面直角坐标系中，$□ ABCD$的边$AB = 2$，且$AB \perp y$轴，顶点$A$的坐标为$(1,b)$，点$D$的坐标为$(2,b + 1)$.
(1) 点$B$的坐标是
(2) 若反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象过$□ ABCD$的顶点$B$和$D$，求该反比例函数的解析式；
(3) 若$□ ABCD$与函数$y = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象总有公共点，求$b$的取值范围.
(1) 点$B$的坐标是
(3,b)
，点$C$的坐标是(4,b+1)
(用含$b$的式子表示)；(2) 若反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象过$□ ABCD$的顶点$B$和$D$，求该反比例函数的解析式；
(3) 若$□ ABCD$与函数$y = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象总有公共点，求$b$的取值范围.
答案：9.(1)(3,b) (4,b+1) (2)
∵反比例函数的图象过点B(3，b)和D(2,b+1)，
∴3b=2(b+1)，解得b=2.
∴点B的坐标为(3,2)，点D的坐标为(2,3).把B(3,2)代入y=$\frac{k}{x}$，得2=$\frac{k}{3}$，解得k=6.
∴该反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$ (3)
∵ □ABCD与函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象总有公共点，
∴当点A(1,b)在函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象上时，得b=4；当点C(4,b+1)在函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象上时，得b=0.
∴b的取值范围是0≤b≤4
∵反比例函数的图象过点B(3，b)和D(2,b+1)，
∴3b=2(b+1)，解得b=2.
∴点B的坐标为(3,2)，点D的坐标为(2,3).把B(3,2)代入y=$\frac{k}{x}$，得2=$\frac{k}{3}$，解得k=6.
∴该反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$ (3)
∵ □ABCD与函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象总有公共点，
∴当点A(1,b)在函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象上时，得b=4；当点C(4,b+1)在函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象上时，得b=0.
∴b的取值范围是0≤b≤4
10. 如图，在$\bigtriangleup ABO$中，$AO = AB$，点$A$的坐标为$(5,0)$，点$B(2,n)$在函数$y = \frac{k_{1}}{x}(x ＞ 0)$的图象上.
将线段$AB$绕点$A$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$，得到线段$AC$，点$C$恰好在函数$y = \frac{k_{2}}{x}(x ＞ 0)$的图象上.
(1) 求$k_{1}$，$k_{2}$的值；
(2) 若$P$，$Q$分别为函数$y = \frac{k_{1}}{x}(x ＞ 0)$，$y = \frac{k_{2}}{x}(x ＞ 0)$图象上的点，且以点$O$，$P$，$Q$，$A$为顶点的四边形为平行四边形，求点$P$的坐标.
将线段$AB$绕点$A$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$，得到线段$AC$，点$C$恰好在函数$y = \frac{k_{2}}{x}(x ＞ 0)$的图象上.
(1) 求$k_{1}$，$k_{2}$的值；
(2) 若$P$，$Q$分别为函数$y = \frac{k_{1}}{x}(x ＞ 0)$，$y = \frac{k_{2}}{x}(x ＞ 0)$图象上的点，且以点$O$，$P$，$Q$，$A$为顶点的四边形为平行四边形，求点$P$的坐标.
答案：
10.(1)如图，过点B作BE⊥OA于点E.
∵点A的坐标为(5,0)，点B的坐标为(2,n)，
∴OA=AB=5，OE=2，BE=n.
∴AE=5−2=3.
∴n=$\sqrt{AB²−AE²}$=4.
∴B(2,4).
∵点B在函数y=$\frac{k_1}{x}$(x＞0)的图象上，
∴k_1=2×4=8.过点C作CF⊥x轴于点F.
∴∠AEB=∠AFC=90°.
∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°.
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF=90°.
∴∠ABE=∠CAF.
∴△ABE≌△CAF.
∴AE=CF=3，BE=AF=4.
∴OF=9.
∴C(9,3).
∵点C在函数y=$\frac{k_2}{x}$(x＞0)的图象上，
∴k_2=9×3=27 (2)由(1)知，k_1=8，k_2=27，
∵P，Q分别为函数y=$\frac{k_1}{x}$(x＞0)，y=$\frac{k_2}{x}$(x＞0)图象上的点，
∴设P(a,$\frac{8}{a}$)，Q(b,$\frac{27}{b}$).
∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，
∴当AO为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在.当AP为平行四边形的对角线时，易得$\begin{cases}5+a=0+b①,\\0+\frac{8}{a}=0+\frac{27}{b}②.\end{cases}$由①，得b=5+a.代入②，可得a=$\frac{40}{19}$.
∴P($\frac{40}{19}$,$\frac{19}{5}$).当AQ为平行四边形的对角线时，易得$\begin{cases}5+b=0+a③,\\0+\frac{27}{b}=0+\frac{8}{a}④.\end{cases}$由③，得b=a−5.代入④，可得a=−$\frac{40}{19}$(不合题意).综上所述，P($\frac{40}{19}$,$\frac{19}{5}$)
10.(1)如图，过点B作BE⊥OA于点E.
∵点A的坐标为(5,0)，点B的坐标为(2,n)，
∴OA=AB=5，OE=2，BE=n.
∴AE=5−2=3.
∴n=$\sqrt{AB²−AE²}$=4.
∴B(2,4).
∵点B在函数y=$\frac{k_1}{x}$(x＞0)的图象上，
∴k_1=2×4=8.过点C作CF⊥x轴于点F.
∴∠AEB=∠AFC=90°.
∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°.
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF=90°.
∴∠ABE=∠CAF.
∴△ABE≌△CAF.
∴AE=CF=3，BE=AF=4.
∴OF=9.
∴C(9,3).
∵点C在函数y=$\frac{k_2}{x}$(x＞0)的图象上，
∴k_2=9×3=27 (2)由(1)知，k_1=8，k_2=27，
∵P，Q分别为函数y=$\frac{k_1}{x}$(x＞0)，y=$\frac{k_2}{x}$(x＞0)图象上的点，
∴设P(a,$\frac{8}{a}$)，Q(b,$\frac{27}{b}$).
∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，
∴当AO为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在.当AP为平行四边形的对角线时，易得$\begin{cases}5+a=0+b①,\\0+\frac{8}{a}=0+\frac{27}{b}②.\end{cases}$由①，得b=5+a.代入②，可得a=$\frac{40}{19}$.
∴P($\frac{40}{19}$,$\frac{19}{5}$).当AQ为平行四边形的对角线时，易得$\begin{cases}5+b=0+a③,\\0+\frac{27}{b}=0+\frac{8}{a}④.\end{cases}$由③，得b=a−5.代入④，可得a=−$\frac{40}{19}$(不合题意).综上所述，P($\frac{40}{19}$,$\frac{19}{5}$)