1. (2024·河北)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买 500 度电，若平均每天用电$x$度，则能使用$y$天.下列说法错误的是 (
A.若$x = 5$，则$y = 100$
B.若$y = 125$，则$x = 4$
C.若$x$减小，则$y$也减小
D.若$x$减小一半，则$y$增大一倍
C
)A.若$x = 5$，则$y = 100$
B.若$y = 125$，则$x = 4$
C.若$x$减小，则$y$也减小
D.若$x$减小一半，则$y$增大一倍
答案：1. C
2. 已知某品牌量子器的使用寿命为定值.这种量子器可工作的天数$y$与平均每天工作的小时数$x$满足反比例函数关系，图象如图所示.如果这种量子器至少要用 2 000 天，那么量子器平均每天工作的小时数$x$应控制在 (
A.$0 ＜ x\leq10$
B.$10\leq x\leq24$
C.$0 ＜ x\leq20$
D.$20\leq x\leq24$
A
)A.$0 ＜ x\leq10$
B.$10\leq x\leq24$
C.$0 ＜ x\leq20$
D.$20\leq x\leq24$
答案：2. A
解析：
解：设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$。
由图可知，当$x = 20$时，$y = 1000$，代入解析式得$1000 = \frac{k}{20}$，解得$k = 20000$，故函数解析式为$y = \frac{20000}{x}$。
当$y = 2000$时，$2000 = \frac{20000}{x}$，解得$x = 10$。
因为$k = 20000 ＞ 0$，所以在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小。要使$y \geq 2000$，则$0 ＜ x \leq 10$。
A
由图可知，当$x = 20$时，$y = 1000$，代入解析式得$1000 = \frac{k}{20}$，解得$k = 20000$，故函数解析式为$y = \frac{20000}{x}$。
当$y = 2000$时，$2000 = \frac{20000}{x}$，解得$x = 10$。
因为$k = 20000 ＞ 0$，所以在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小。要使$y \geq 2000$，则$0 ＜ x \leq 10$。
A
3. (新情境·新科技)(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度$v( m/s)$是载重后总质量$m( kg)$的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量为 60 kg 时，它的最快移动速度为 6 m/s，则当其载重后总质量为 90 kg 时，它的最快移动速度为
4
m/s.答案：3. 4
解析：
设$ v $与$ m $的函数关系式为$ v=\dfrac{k}{m}(k \neq 0) $。
当$ m=60 $时，$ v=6 $，代入得$ 6=\dfrac{k}{60} $，解得$ k=360 $，所以$ v=\dfrac{360}{m} $。
当$ m=90 $时，$ v=\dfrac{360}{90}=4 $。
4
当$ m=60 $时，$ v=6 $，代入得$ 6=\dfrac{k}{60} $，解得$ k=360 $，所以$ v=\dfrac{360}{m} $。
当$ m=90 $时，$ v=\dfrac{360}{90}=4 $。
4
4. 如图，科技小组准备用材料围建一个面积为$60\ m^2$的矩形科技园$ABCD$，其中一边$AB$完全靠墙，墙长 12 m.设$AD$的长为$x$ m，$DC$的长为$y$ m.
(1) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(2) 若围建的矩形科技园$ABCD$的三边材料总长不超过 26 m，边$AD$和$DC$的材料长度都是整数米数，求出满足条件的所有围建方案.
(1) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(2) 若围建的矩形科技园$ABCD$的三边材料总长不超过 26 m，边$AD$和$DC$的材料长度都是整数米数，求出满足条件的所有围建方案.
答案：4. (1)
∵ AD的长为$x$m,DC的长为$y$m,矩形ABCD的面积为$60m^2$,
∴$xy = 60$,即$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{60}{x}$
(2)
∵$y = \frac{60}{x}$,且$x,y$都是正整数,
∴$x$可取$1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$.
∵$2x + y \leq 26,0 ＜ y \leq 12$,
∴当$x = 5$时,$y = 12$;当$x = 6$时,$y = 10$;当$x = 10$时,$y = 6$.
∴满足条件的围建方案有三种:$AD = 5m,DC = 12m$;$AD = 6m,DC = 10m$;$AD = 10m,DC = 6m$
∵ AD的长为$x$m,DC的长为$y$m,矩形ABCD的面积为$60m^2$,
∴$xy = 60$,即$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{60}{x}$
(2)
∵$y = \frac{60}{x}$,且$x,y$都是正整数,
∴$x$可取$1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$.
∵$2x + y \leq 26,0 ＜ y \leq 12$,
∴当$x = 5$时,$y = 12$;当$x = 6$时,$y = 10$;当$x = 10$时,$y = 6$.
∴满足条件的围建方案有三种:$AD = 5m,DC = 12m$;$AD = 6m,DC = 10m$;$AD = 10m,DC = 6m$
5. (易错题)如果三角形的面积为 15 平方厘米，它的一边长为$y$厘米，这条边上的高为$x$厘米，那么$y$与$x$之间的函数关系用图象表示大致是 (
C
)答案：5. C [易错分析]忽略实际问题中自变量的取值范围致错.
6. 某研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度$y$(微克/毫升)与注射时间$x$(天)之间的函数关系如图所示(当$x\leq20$时，$y$与$x$成正比例函数关系；当$x ＞ 20$时，$y$与$x$成反比例函数关 系).当体内抗体浓度高于 70 微克/毫升时，相应的自变量$x$的取值范围是
$5 ＜ x ＜ 80$
.答案：6. $5 ＜ x ＜ 80$
解析：
当$x \leq 20$时，设$y = kx$，由图知当$x = 20$时，$y = 280$，则$280 = 20k$，解得$k = 14$，所以$y = 14x$。令$14x ＞ 70$，得$x ＞ 5$，又$x \leq 20$，此时$5 ＜ x \leq 20$。
当$x ＞ 20$时，设$y = \frac{m}{x}$，由图知当$x = 20$时，$y = 280$，则$280 = \frac{m}{20}$，解得$m = 5600$，所以$y = \frac{5600}{x}$。令$\frac{5600}{x} ＞ 70$，得$x ＜ 80$，又$x ＞ 20$，此时$20 ＜ x ＜ 80$。
综上，$5 ＜ x ＜ 80$。
$5 ＜ x ＜ 80$
当$x ＞ 20$时，设$y = \frac{m}{x}$，由图知当$x = 20$时，$y = 280$，则$280 = \frac{m}{20}$，解得$m = 5600$，所以$y = \frac{5600}{x}$。令$\frac{5600}{x} ＞ 70$，得$x ＜ 80$，又$x ＞ 20$，此时$20 ＜ x ＜ 80$。
综上，$5 ＜ x ＜ 80$。
$5 ＜ x ＜ 80$