1. 若点$A(-3,-2)$关于$x$轴的对称点$A'$恰好在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象上，则$k$的值为
(
A.$6$
B.$-1$
C.$-5$
D.$-6$
(
D
)A.$6$
B.$-1$
C.$-5$
D.$-6$
答案：1.D
解析：
点$A(-3,-2)$关于$x$轴的对称点$A'$的坐标为$(-3,2)$。
因为$A'$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以将$A'(-3,2)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-3}$。
解得$k=-6$。
D
因为$A'$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以将$A'(-3,2)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-3}$。
解得$k=-6$。
D
2. ($2025·$河北)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则$x$的取值范围是
(
A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$
(
B
)A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$
答案：2.B
解析：
当$2 ＜ y ＜ 4$时，$y = \frac{4}{x}$，则：
1. 由$y ＞ 2$得$\frac{4}{x} ＞ 2$，因为$y = \frac{4}{x}$中$x$与$y$同号，$y ＞ 0$所以$x ＞ 0$，两边同乘$x$得$4 ＞ 2x$，解得$x ＜ 2$；
2. 由$y ＜ 4$得$\frac{4}{x} ＜ 4$，两边同乘$x$（$x ＞ 0$）得$4 ＜ 4x$，解得$x ＞ 1$；
综上，$1 ＜ x ＜ 2$。
B
1. 由$y ＞ 2$得$\frac{4}{x} ＞ 2$，因为$y = \frac{4}{x}$中$x$与$y$同号，$y ＞ 0$所以$x ＞ 0$，两边同乘$x$得$4 ＞ 2x$，解得$x ＜ 2$；
2. 由$y ＜ 4$得$\frac{4}{x} ＜ 4$，两边同乘$x$（$x ＞ 0$）得$4 ＜ 4x$，解得$x ＞ 1$；
综上，$1 ＜ x ＜ 2$。
B
3. 如图，直线$y=x+1$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$相交于点$A(1,2),B(-2,-1)$，根据图象可知关于$x$的方程$x+1=\frac{k}{x}$的解为
(
A.$x_1=-2,x_2=1$
B.$x_1=-1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=2$
D.$x_1=-2,x_2=-1$
(
A
)A.$x_1=-2,x_2=1$
B.$x_1=-1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=2$
D.$x_1=-2,x_2=-1$
答案：3.A
解析：
解：方程$x + 1 = \frac{k}{x}$的解即为直线$y = x + 1$与双曲线$y = \frac{k}{x}$交点的横坐标。已知两交点为$A(1,2)$，$B(-2,-1)$，所以方程的解为$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。
A
A
4. 如图，点$A,B$分别在函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$和$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，且$AB // x$轴. 连接$OB$，与函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象交于点$C$，连接$AC$，则$\triangle ABC$的面积为
(
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{9}{8}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$
(
A
)A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{9}{8}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$
答案：4.A
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，点$B$的坐标为$(b,\frac{4}{b})$。
因为$AB // x$轴，所以点$A$和点$B$的纵坐标相等，即$\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$，解得$b = 4a$。
设直线$OB$的解析式为$y = kx$，因为点$B(4a,\frac{1}{a})$在直线$OB$上，所以$\frac{1}{a} = k · 4a$，解得$k = \frac{1}{4a^2}$，则直线$OB$的解析式为$y = \frac{1}{4a^2}x$。
联立$\begin{cases}y = \frac{1}{4a^2}x \\ y = \frac{1}{x}\end{cases}$，解得$\frac{1}{4a^2}x = \frac{1}{x}$，$x^2 = 4a^2$，$x = 2a$（$x ＞ 0$），则点$C$的横坐标为$2a$，纵坐标为$\frac{1}{2a}$。
$AB$的长度为$b - a = 4a - a = 3a$，点$C$到$AB$的距离为$\frac{1}{a} - \frac{1}{2a} = \frac{1}{2a}$。
所以$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 3a × \frac{1}{2a} = \frac{3}{4}$。
答案：$\frac{3}{4}$
因为$AB // x$轴，所以点$A$和点$B$的纵坐标相等，即$\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$，解得$b = 4a$。
设直线$OB$的解析式为$y = kx$，因为点$B(4a,\frac{1}{a})$在直线$OB$上，所以$\frac{1}{a} = k · 4a$，解得$k = \frac{1}{4a^2}$，则直线$OB$的解析式为$y = \frac{1}{4a^2}x$。
联立$\begin{cases}y = \frac{1}{4a^2}x \\ y = \frac{1}{x}\end{cases}$，解得$\frac{1}{4a^2}x = \frac{1}{x}$，$x^2 = 4a^2$，$x = 2a$（$x ＞ 0$），则点$C$的横坐标为$2a$，纵坐标为$\frac{1}{2a}$。
$AB$的长度为$b - a = 4a - a = 3a$，点$C$到$AB$的距离为$\frac{1}{a} - \frac{1}{2a} = \frac{1}{2a}$。
所以$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 3a × \frac{1}{2a} = \frac{3}{4}$。
答案：$\frac{3}{4}$
5. ($2025·$南通模拟)如图，在平面直角坐标系中，$A$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$图象上的一点，过点$A$作$AB \perp y$轴于点$B$，$C$是$y$轴负半轴上一点，连接$AC$交$x$轴于点$D$. 若$OD$是$\triangle ABC$的中位线，$\triangle OCD$的面积为$3$，则$k$的值为
(
A.$-12$
B.$-6$
C.$6$
D.$12$
(
A
)A.$-12$
B.$-6$
C.$6$
D.$12$
答案：5.A
解析：
解：设点$D$的坐标为$(a,0)$，其中$a＜0$。
因为$OD$是$\triangle ABC$的中位线，且$AB\perp y$轴，所以$OD// AB$，$AB = 2OD$。
因为$OD = |a|=-a$，所以$AB=-2a$，则点$A$的坐标为$(2a,b)$（$b＞0$）。
又因为$OD$是中位线，所以点$O$是$BC$的中点，设点$C$的坐标为$(0,c)$（$c＜0$），则$\frac{b + c}{2}=0$，即$c=-b$，所以点$C$的坐标为$(0,-b)$。
已知$\triangle OCD$的面积为$3$，$OD=-a$，$OC = |c|=b$，则$\frac{1}{2}×(-a)× b=3$，即$-ab=6$。
因为点$A(2a,b)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$k=2a× b=2ab$。
由$-ab = 6$可得$ab=-6$，则$k=2×(-6)=-12$。
答案：$-12$
因为$OD$是$\triangle ABC$的中位线，且$AB\perp y$轴，所以$OD// AB$，$AB = 2OD$。
因为$OD = |a|=-a$，所以$AB=-2a$，则点$A$的坐标为$(2a,b)$（$b＞0$）。
又因为$OD$是中位线，所以点$O$是$BC$的中点，设点$C$的坐标为$(0,c)$（$c＜0$），则$\frac{b + c}{2}=0$，即$c=-b$，所以点$C$的坐标为$(0,-b)$。
已知$\triangle OCD$的面积为$3$，$OD=-a$，$OC = |c|=b$，则$\frac{1}{2}×(-a)× b=3$，即$-ab=6$。
因为点$A(2a,b)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$k=2a× b=2ab$。
由$-ab = 6$可得$ab=-6$，则$k=2×(-6)=-12$。
答案：$-12$
6. 已知$A(x_1,y_1),B(x_1+1,y_2)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的两点，当$x_1＞0$时，均有$y_1＜y_2$，则$k$的取值范围是
k＜0
.答案：6.k＜0
7. 一次函数$y=k_1x(k_1 \neq 0)$与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2 \neq 0)$的图象的一个交点是$M(-3,2)$. 若$\frac{k_2}{x}＜k_1x$，则$x$的取值范围是
x＜-3或0＜x＜3
.答案：7.x＜-3或0＜x＜3
解析：
解：将点$M(-3,2)$代入$y=k_1x$，得$2 = -3k_1$，解得$k_1=-\frac{2}{3}$，所以一次函数为$y=-\frac{2}{3}x$。
将点$M(-3,2)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{-3}$，解得$k_2=-6$，所以反比例函数为$y=-\frac{6}{x}$。
联立方程$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x\\y=-\frac{6}{x}\end{cases}$，解得另一交点为$(3,-2)$。
观察函数图象，当$\frac{k_2}{x}＜k_1x$时，$x$的取值范围是$x＜-3$或$0＜x＜3$。
$x＜-3$或$0＜x＜3$
将点$M(-3,2)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{-3}$，解得$k_2=-6$，所以反比例函数为$y=-\frac{6}{x}$。
联立方程$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x\\y=-\frac{6}{x}\end{cases}$，解得另一交点为$(3,-2)$。
观察函数图象，当$\frac{k_2}{x}＜k_1x$时，$x$的取值范围是$x＜-3$或$0＜x＜3$。
$x＜-3$或$0＜x＜3$
8. 用一定体积的面团做成拉面，面条的总长度$y( m)$是面条的粗细(横截面积)$S( mm^2)$的反比例函数，其图象如图所示. 当面条的粗细为$1.6 mm^2$时，面条的总长度是
80
$ m$.答案：8.80
解析：
解：设$y$与$S$的函数关系式为$y=\dfrac{k}{S}(k \neq 0)$。
将$P(4,32)$代入$y=\dfrac{k}{S}$，得$32=\dfrac{k}{4}$，解得$k=128$。
所以$y$与$S$的函数关系式为$y=\dfrac{128}{S}$。
当$S=1.6$时，$y=\dfrac{128}{1.6}=80$。
80
将$P(4,32)$代入$y=\dfrac{k}{S}$，得$32=\dfrac{k}{4}$，解得$k=128$。
所以$y$与$S$的函数关系式为$y=\dfrac{128}{S}$。
当$S=1.6$时，$y=\dfrac{128}{1.6}=80$。
80