∵点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$在反比例函数$y = \frac{2}{x}$的图象上，
∴$y_1=\frac{2}{x_1}$，$y_2=\frac{2}{x_2}$。
∵$x_1＜0＜x_2$，
∴$y_1=\frac{2}{x_1}＜0$，$y_2=\frac{2}{x_2}＞0$，
∴$y_1＜0＜y_2$。
A

当$x=-3$时，一次函数$y=x+1=-3+1=-2$，则交点坐标为$(-3,-2)$。
将$(-3,-2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$-2=\frac{k}{-3}$，解得$k=6$，故反比例函数为$y=\frac{6}{x}$。
当$-1 ＜ x ＜ 0$时，$y=\frac{6}{x}$随$x$增大而减小，$x=-1$时$y=-6$，则$y ＜ -6$；
当$x ＞ 0$时，$y=\frac{6}{x} ＞ 0$。
综上，$y$的取值范围是$y ＜ -6$或$y ＞ 0$。
D

解：由图可知，当$x=2$时，$y＞4$，即$\frac{k}{2}＞4$，解得$k＞8$；当$x=4$时，$y＜2$，即$\frac{k}{4}＜2$，解得$k＜8$。综上，$8＜k＜8$，矛盾，重新分析：当$x=2$时，$y＞4$，得$k＞8$；当$x=4$时，$y＞2$，得$k＞8$，结合选项，$k$可能是11。
B

解：设$P = \frac{W}{t}$，由图知当$t = 60$时，$P = 20$，则$W = Pt = 60×20 = 1200$，故$P = \frac{1200}{t}$。
当$t = 25$时，$P = \frac{1200}{25} = 48$；当$t = 40$时，$P = \frac{1200}{40} = 30$。
因为$P$随$t$增大而减小，所以当$25⩽t⩽40$时，$30⩽P⩽48$，选项中只有45在此范围。
C

解：设点$A$的坐标为$(x_1, y)$，点$B$的坐标为$(x_2, y)$。
因为点$A$在曲线$y = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$上，所以$y = \frac{4}{x_1}$，即$x_1 = \frac{4}{y}$。
因为点$B$在曲线$y = \frac{12}{x}(x ＞ 0)$上，所以$y = \frac{12}{x_2}$，即$x_2 = \frac{12}{y}$。
由于四边形$ABCD$为矩形，$AB// x$轴，点$C$，$D$在$x$轴上，所以$AB$的长度为$x_2 - x_1$，矩形的高为$y$。
矩形面积$S = (x_2 - x_1) · y = \left(\frac{12}{y} - \frac{4}{y}\right) · y = 8$。
故答案为C。

解：方程$x^2 + x = 2$化为一般式$x^2 + x - 2 = 0$。
由韦达定理得：$a + b = -1$，$ab = -2$。
反比例函数为$y = \frac{-2}{x}$，其图象在第二、四象限。
一次函数为$y = ax + b$，$a + b = -1$，即$b = -1 - a$，函数可化为$y = ax - a - 1 = a(x - 1) - 1$，必过点$(1, -1)$。
综上，图象可能为选项B。