8. 如图,$A$是双曲线$y =\frac{3}{x} $上的一点,连接$AO$并延长,交双曲线的另一支于点$B,OA$与$y$轴的正
半轴的夹角为$60°$.将线段$AB$绕点$B$顺时针旋转$60°$得到线段$BC$,则$\triangle ABC$的面积是 (
A.$6\sqrt{3}$
B.12
C.$12\sqrt{3}$
D.24
半轴的夹角为$60°$.将线段$AB$绕点$B$顺时针旋转$60°$得到线段$BC$,则$\triangle ABC$的面积是 (
B
)A.$6\sqrt{3}$
B.12
C.$12\sqrt{3}$
D.24
答案：8.B
解析：
解：设点$A$坐标为$(m,n)$，$m＞0,n＞0$。
∵点$A$在双曲线$y=\frac{3}{x}$上，
∴$mn=3$。
∵$OA$与$y$轴正半轴夹角为$60°$，
∴$OA$与$x$轴正半轴夹角为$30°$。
∴$\tan30°=\frac{n}{m}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$m=\sqrt{3}n$。
联立$mn=3$与$m=\sqrt{3}n$，解得$m=3$，$n=\sqrt{3}$，即$A(3,\sqrt{3})$。
∵$A$、$B$关于原点对称，
∴$B(-3,-\sqrt{3})$。
∴$OA=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$，$AB=2OA=4\sqrt{3}$。
∵线段$AB$绕点$B$顺时针旋转$60°$得$BC$，
∴$AB=BC$，$\angle ABC=60°$。
∴$\triangle ABC$为等边三角形，其面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×(4\sqrt{3})^2=12$。
答案：$12$
∵点$A$在双曲线$y=\frac{3}{x}$上，
∴$mn=3$。
∵$OA$与$y$轴正半轴夹角为$60°$，
∴$OA$与$x$轴正半轴夹角为$30°$。
∴$\tan30°=\frac{n}{m}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$m=\sqrt{3}n$。
联立$mn=3$与$m=\sqrt{3}n$，解得$m=3$，$n=\sqrt{3}$，即$A(3,\sqrt{3})$。
∵$A$、$B$关于原点对称，
∴$B(-3,-\sqrt{3})$。
∴$OA=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$，$AB=2OA=4\sqrt{3}$。
∵线段$AB$绕点$B$顺时针旋转$60°$得$BC$，
∴$AB=BC$，$\angle ABC=60°$。
∴$\triangle ABC$为等边三角形，其面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×(4\sqrt{3})^2=12$。
答案：$12$
9. 如图,过反比例函数$y =\frac{k}{x} $在第一象限的图象上的点$A$,作$x$轴的垂线$AB$,垂足为$B,C$是$x$轴上一点(点$C$在点$B$右侧).以$AB,BC$为邻边作矩形$ABCD$,连接$AC,BD$交于点$E$.若点$E$在反比例函数的图象上,且$S_{矩形ABCD}=10$,则$k$的值为 (
A.10
B.$4\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.5
D
)A.10
B.$4\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.5
答案：9.D
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，其中$a＞0$。
因为$AB$是$x$轴的垂线，垂足为$B$，所以点$B$的坐标为$(a,0)$，$AB$的长度为$\frac{k}{a}$。
设点$C$的坐标为$(b,0)$，其中$b＞a＞0$，则$BC$的长度为$b - a$。
由于四边形$ABCD$是矩形，所以点$D$的坐标为$(b,\frac{k}{a})$。
矩形$ABCD$的面积$S = AB × BC=\frac{k}{a}(b - a)=10$。
因为$AC$和$BD$是矩形的对角线，交于点$E$，所以点$E$是$AC$和$BD$的中点。
点$E$的横坐标为$\frac{a + b}{2}$，纵坐标为$\frac{0+\frac{k}{a}}{2}=\frac{k}{2a}$，即点$E$的坐标为$(\frac{a + b}{2},\frac{k}{2a})$。
因为点$E$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$\frac{k}{2a}=\frac{k}{\frac{a + b}{2}}$。
化简得：$\frac{k}{2a}=\frac{2k}{a + b}$，两边同时约去$k$（$k\neq0$），得$\frac{1}{2a}=\frac{2}{a + b}$，即$a + b = 4a$，解得$b = 3a$。
将$b = 3a$代入$\frac{k}{a}(b - a)=10$，得$\frac{k}{a}(3a - a)=\frac{k}{a}×2a = 2k = 10$，解得$k = 5$。
故$k$的值为$5$。
答案：D
因为$AB$是$x$轴的垂线，垂足为$B$，所以点$B$的坐标为$(a,0)$，$AB$的长度为$\frac{k}{a}$。
设点$C$的坐标为$(b,0)$，其中$b＞a＞0$，则$BC$的长度为$b - a$。
由于四边形$ABCD$是矩形，所以点$D$的坐标为$(b,\frac{k}{a})$。
矩形$ABCD$的面积$S = AB × BC=\frac{k}{a}(b - a)=10$。
因为$AC$和$BD$是矩形的对角线，交于点$E$，所以点$E$是$AC$和$BD$的中点。
点$E$的横坐标为$\frac{a + b}{2}$，纵坐标为$\frac{0+\frac{k}{a}}{2}=\frac{k}{2a}$，即点$E$的坐标为$(\frac{a + b}{2},\frac{k}{2a})$。
因为点$E$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$\frac{k}{2a}=\frac{k}{\frac{a + b}{2}}$。
化简得：$\frac{k}{2a}=\frac{2k}{a + b}$，两边同时约去$k$（$k\neq0$），得$\frac{1}{2a}=\frac{2}{a + b}$，即$a + b = 4a$，解得$b = 3a$。
将$b = 3a$代入$\frac{k}{a}(b - a)=10$，得$\frac{k}{a}(3a - a)=\frac{k}{a}×2a = 2k = 10$，解得$k = 5$。
故$k$的值为$5$。
答案：D
10. 如图,在平面直角坐标系中,“双曲线阶梯”$ABCDEFG$的所有线段均与$x$轴平行或垂直,且满足$BC = DE = FG = 1$,点$A,C,E,G$均在双曲线$y =\frac{k}{x} $的一支上.若点$A$的坐标为$(4,\frac{3}{2})$,则第三级“阶梯”的高$EF$为 (
A.4
B.3
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{5}{2}$
B
)A.4
B.3
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{5}{2}$
答案：10.B 解析：
∵点A(4,$\frac{3}{2}$)在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=4×$\frac{3}{2}$=6。
∴双曲线对应的函数解析式为y=$\frac{6}{x}$。
∵BC=1，BC//x轴，AB//y轴，点A的坐标为(4,$\frac{3}{2}$)，
∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3。
∵点C在双曲线y=$\frac{6}{x}$上，
∴点C的坐标为(3,2)。同理，点E的横坐标为2。把x=2代入y=$\frac{6}{x}$，得y=3。
∴点E的坐标为(2,3)。同理，点G的横坐标为1。把x=1代入y=$\frac{6}{x}$，得y=6。
∴点G的坐标为(1,6)。观察图象易知，EF=6 - 3=3。
∵点A(4,$\frac{3}{2}$)在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=4×$\frac{3}{2}$=6。
∴双曲线对应的函数解析式为y=$\frac{6}{x}$。
∵BC=1，BC//x轴，AB//y轴，点A的坐标为(4,$\frac{3}{2}$)，
∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3。
∵点C在双曲线y=$\frac{6}{x}$上，
∴点C的坐标为(3,2)。同理，点E的横坐标为2。把x=2代入y=$\frac{6}{x}$，得y=3。
∴点E的坐标为(2,3)。同理，点G的横坐标为1。把x=1代入y=$\frac{6}{x}$，得y=6。
∴点G的坐标为(1,6)。观察图象易知，EF=6 - 3=3。
11. 某反比例函数$y =\frac{k}{x} $具有如下性质:当$x ＞ 0$时,$y$随$x$的增大而减小,写出一个满足条件的
$k$的值是
$k$的值是
答案不唯一，如1
.答案：11.答案不唯一，如1
12. 若点$A(-3,y_1),B(-1,y_2)$都在反比例函数$y =\frac{6}{x} $的图象上,则$y_1$_________$y_2$(填“＞”或“＜”).
答案：12.＞
解析：
将点$A(-3,y_1)$代入$y = \frac{6}{x}$，得$y_1=\frac{6}{-3}=-2$；将点$B(-1,y_2)$代入$y = \frac{6}{x}$，得$y_2=\frac{6}{-1}=-6$。因为$-2 ＞ -6$，所以$y_1 ＞ y_2$。
＞
＞
13. 若点$A(m - 1,\frac{3}{2}),B(m,\frac{1}{2})$在函数$y =\frac{k}{x} (x ＞ 0)$的图象上,则$k$的值为
$\frac{3}{4}$
.答案：13.$\frac{3}{4}$
解析：
解：因为点$A(m - 1,\frac{3}{2})$，$B(m,\frac{1}{2})$在函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，所以$\frac{3}{2} = \frac{k}{m - 1}$，$\frac{1}{2} = \frac{k}{m}$。
由$\frac{1}{2} = \frac{k}{m}$可得$m = 2k$，将其代入$\frac{3}{2} = \frac{k}{m - 1}$中，得$\frac{3}{2} = \frac{k}{2k - 1}$。
交叉相乘得$3(2k - 1) = 2k$，即$6k - 3 = 2k$，$6k - 2k = 3$，$4k = 3$，解得$k = \frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$
由$\frac{1}{2} = \frac{k}{m}$可得$m = 2k$，将其代入$\frac{3}{2} = \frac{k}{m - 1}$中，得$\frac{3}{2} = \frac{k}{2k - 1}$。
交叉相乘得$3(2k - 1) = 2k$，即$6k - 3 = 2k$，$6k - 2k = 3$，$4k = 3$，解得$k = \frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$
14. 已知反比例函数$y =\frac{2}{x},y =-\frac{3}{x},$若当$1 ⩽ x ⩽ 3$时,函数$y =\frac{2}{x}$的最大值是$a$,函数$y =-\frac{3}{x}$的最大值是$b$,则$a^b$的值为
$\frac{1}{2}$
.答案：14.$\frac{1}{2}$
解析：
对于函数$y = \frac{2}{x}$，当$1 \leq x \leq 3$时，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x = 1$时，$y$取得最大值$a = \frac{2}{1}=2$。
对于函数$y = -\frac{3}{x}$，当$1 \leq x \leq 3$时，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x = 3$时，$y$取得最大值$b=-\frac{3}{3}=-1$。
则$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
对于函数$y = -\frac{3}{x}$，当$1 \leq x \leq 3$时，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x = 3$时，$y$取得最大值$b=-\frac{3}{3}=-1$。
则$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
15. 有一个水池的进水管,若每小时注入$1.5 m^3$水,则$4 h$可将空池注满.现准备关闭进水管,若要将满池水放完,则放水管的放水速度$v( m^3/h)$与放水时间$t( h)$之间的函数解析式为
v=$\frac{6}{t}$(t＞0)
.答案：15.v=$\frac{6}{t}$(t＞0)
16. 如图,函数$y =\frac{1}{x}$和$y =-\frac{3}{x}$的图象分别是$L_1$和$L_2.$设点$P$在$L_1$上,$PA⊥$
$x$轴,垂足为$C$,交$L_2$于点$A,PB⊥y$轴,垂足为$D$,交$L_2$于点$B$,连接
$AB$,则$S_{\triangle PAB} =$
$x$轴,垂足为$C$,交$L_2$于点$A,PB⊥y$轴,垂足为$D$,交$L_2$于点$B$,连接
$AB$,则$S_{\triangle PAB} =$
8
.答案：16.8
解析：
解：设点$P$的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a\neq0$）。
因为$PA\perp x$轴，垂足为$C$，交$L_2$于点$A$，所以点$A$的横坐标为$a$。
将$x = a$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$y=-\frac{3}{a}$，所以点$A$的坐标为$(a,-\frac{3}{a})$。
则$PA=\left|\frac{1}{a}-\left(-\frac{3}{a}\right)\right|=\left|\frac{4}{a}\right|=\frac{4}{|a|}$。
因为$PB\perp y$轴，垂足为$D$，交$L_2$于点$B$，所以点$B$的纵坐标为$\frac{1}{a}$。
将$y = \frac{1}{a}$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$\frac{1}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-3a$，所以点$B$的坐标为$(-3a,\frac{1}{a})$。
则$PB=\left|a - (-3a)\right|=\left|4a\right|=4|a|$。
因为$PA\perp x$轴，$PB\perp y$轴，所以$PA\perp PB$。
所以$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}× PA× PB=\frac{1}{2}×\frac{4}{|a|}×4|a|=8$。
故$S_{\triangle PAB}=8$。
因为$PA\perp x$轴，垂足为$C$，交$L_2$于点$A$，所以点$A$的横坐标为$a$。
将$x = a$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$y=-\frac{3}{a}$，所以点$A$的坐标为$(a,-\frac{3}{a})$。
则$PA=\left|\frac{1}{a}-\left(-\frac{3}{a}\right)\right|=\left|\frac{4}{a}\right|=\frac{4}{|a|}$。
因为$PB\perp y$轴，垂足为$D$，交$L_2$于点$B$，所以点$B$的纵坐标为$\frac{1}{a}$。
将$y = \frac{1}{a}$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$\frac{1}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-3a$，所以点$B$的坐标为$(-3a,\frac{1}{a})$。
则$PB=\left|a - (-3a)\right|=\left|4a\right|=4|a|$。
因为$PA\perp x$轴，$PB\perp y$轴，所以$PA\perp PB$。
所以$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}× PA× PB=\frac{1}{2}×\frac{4}{|a|}×4|a|=8$。
故$S_{\triangle PAB}=8$。