8. 如图，在$\triangle ABC$中，$CA=CB$，$\angle C=90°$，$D$是$BC$的中点，将$\triangle ABC$沿着$EF$折叠，使$A$点与点$D$重合，折痕交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，那么$\sin\angle BED$的值为(
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
答案：B
9. 矩形$OBAC$在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限的图象与边$AB$交于点$D$，与边$AC$交于点$F$，与对角线$OA$交于点$E$，连接$OD$，$OF$，$OE=2AE$.若四边形$ODAF$的面积为2，则$k$的值是(
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{8}{5}$
D
)A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{8}{5}$
答案：
D 解析:如图，过点E作EM⊥OC于点M,则EM//AC，
∴△OME∽△OCA.
∴$\frac{OM}{OC}$=$\frac{EM}{AC}$=$\frac{OE}{OA}$.
∵点E在反比例函数$y = \frac{k}{x}$位于第一象限的图象上，
∴设点E的坐标为$(a, \frac{k}{a})$.
∴$OM = a$，$EM = \frac{k}{a}$.
∵$OE = 2AE$，
∴$\frac{OM}{OC} = \frac{EM}{AC} = \frac{2}{3}$.
∴$OC = \frac{3}{2}a$，$AC = \frac{3}{2} · \frac{k}{a}$.
∴$S_{矩形OBAC} = S_{△OBD} + S_{△OCF} + S_{四边形ODAF} = \frac{3}{2}a · \frac{3}{2} · \frac{k}{a}$，即$\frac{k}{2} + \frac{k}{2} + 2 = \frac{3}{2}a · \frac{3}{2} · \frac{k}{a}$，解得$k = \frac{8}{5}$.
D 解析:如图，过点E作EM⊥OC于点M,则EM//AC，
∴△OME∽△OCA.
∴$\frac{OM}{OC}$=$\frac{EM}{AC}$=$\frac{OE}{OA}$.
∵点E在反比例函数$y = \frac{k}{x}$位于第一象限的图象上，
∴设点E的坐标为$(a, \frac{k}{a})$.
∴$OM = a$，$EM = \frac{k}{a}$.
∵$OE = 2AE$，
∴$\frac{OM}{OC} = \frac{EM}{AC} = \frac{2}{3}$.
∴$OC = \frac{3}{2}a$，$AC = \frac{3}{2} · \frac{k}{a}$.
∴$S_{矩形OBAC} = S_{△OBD} + S_{△OCF} + S_{四边形ODAF} = \frac{3}{2}a · \frac{3}{2} · \frac{k}{a}$，即$\frac{k}{2} + \frac{k}{2} + 2 = \frac{3}{2}a · \frac{3}{2} · \frac{k}{a}$，解得$k = \frac{8}{5}$.
10. 如图，在平面直角坐标系中，$A(0,7)$，$B(\sqrt{3},0)$，$C$为线段$OA$上一个动点.以$CB$为边，向右作$Rt\triangle BCD$，$\angle BCD=90°$，且$\angle CBD=60°$，连接$AD$.当$AD$的长有最小值时，点$D$的坐标为(
A.$(0,3)$
B.$(1,3+\frac{\sqrt{3}}{3})$
C.$(\sqrt{3},4)$
D.$(4\sqrt{3},7)$
C
)A.$(0,3)$
B.$(1,3+\frac{\sqrt{3}}{3})$
C.$(\sqrt{3},4)$
D.$(4\sqrt{3},7)$
答案：
C 解析:如图，过点D作DE⊥y轴于点E.
∴∠DEC=∠COB=∠DCB=90°.
∴∠EDC=90°−∠ECD=∠OCB.
∴△EDC∽△OCB.
∴$\frac{EC}{OB} = \frac{ED}{OC} = \frac{CD}{BC} = \tan ∠CBD = \sqrt{3}$.设$OC = m(0 \leq m \leq 7)$.
∵B$(\sqrt{3}, 0)$，
∴$OB = \sqrt{3}$，
∴$EC = \sqrt{3}OB = 3$，$ED = \sqrt{3}OC = \sqrt{3}m$.
∴$AE = AO - EC - OC = 7 - 3 - m = 4 - m$.在Rt△AED中，由勾股定理，得$AD^2 = ED^2 + AE^2 = 3m^2 + (4 - m)^2 = 4m^2 - 8m + 16 = 4(m - 1)^2 + 12$.
∴当$m = 1$时，$AD^2$的值最小，即AD的长有最小值.
∴$ED = \sqrt{3}$，$EO = EC + CO = 3 + 1 = 4$.
∴D$(\sqrt{3}, 4)$.
C 解析:如图，过点D作DE⊥y轴于点E.
∴∠DEC=∠COB=∠DCB=90°.
∴∠EDC=90°−∠ECD=∠OCB.
∴△EDC∽△OCB.
∴$\frac{EC}{OB} = \frac{ED}{OC} = \frac{CD}{BC} = \tan ∠CBD = \sqrt{3}$.设$OC = m(0 \leq m \leq 7)$.
∵B$(\sqrt{3}, 0)$，
∴$OB = \sqrt{3}$，
∴$EC = \sqrt{3}OB = 3$，$ED = \sqrt{3}OC = \sqrt{3}m$.
∴$AE = AO - EC - OC = 7 - 3 - m = 4 - m$.在Rt△AED中，由勾股定理，得$AD^2 = ED^2 + AE^2 = 3m^2 + (4 - m)^2 = 4m^2 - 8m + 16 = 4(m - 1)^2 + 12$.
∴当$m = 1$时，$AD^2$的值最小，即AD的长有最小值.
∴$ED = \sqrt{3}$，$EO = EC + CO = 3 + 1 = 4$.
∴D$(\sqrt{3}, 4)$.
11. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$BC=12$，$\tan A=\frac{12}{5}$，则$\sin B=$
$\frac{5}{13}$
.答案：$\frac{5}{13}$
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}$，$BC=12$，则$\frac{12}{AC}=\frac{12}{5}$，得$AC=5$。
由勾股定理，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
$\frac{5}{13}$
由勾股定理，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
$\frac{5}{13}$
12. 已知直线$y=ax$与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于点$A$，$B$，点$A$的坐标为$(1,2)$，则点$B$的坐标为
$(-1, -2)$
.答案：$(-1, -2)$
解析：
因为点$A(1,2)$在直线$y = ax$上，所以$2 = a×1$，解得$a = 2$，直线方程为$y = 2x$。
点$A(1,2)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，所以$2=\frac{k}{1}$，解得$k = 2$，双曲线方程为$y=\frac{2}{x}$。
联立方程组$\begin{cases}y = 2x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，将$y = 2x$代入$y=\frac{2}{x}$得$2x=\frac{2}{x}$，$2x^2 = 2$，$x^2 = 1$，$x = ±1$。
当$x = 1$时，$y = 2×1 = 2$（即点$A$）；当$x=-1$时，$y = 2×(-1)=-2$，所以点$B$的坐标为$(-1,-2)$。
$(-1, -2)$
点$A(1,2)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，所以$2=\frac{k}{1}$，解得$k = 2$，双曲线方程为$y=\frac{2}{x}$。
联立方程组$\begin{cases}y = 2x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，将$y = 2x$代入$y=\frac{2}{x}$得$2x=\frac{2}{x}$，$2x^2 = 2$，$x^2 = 1$，$x = ±1$。
当$x = 1$时，$y = 2×1 = 2$（即点$A$）；当$x=-1$时，$y = 2×(-1)=-2$，所以点$B$的坐标为$(-1,-2)$。
$(-1, -2)$
13. 在平面直角坐标系中，把$\triangle ABC$以原点$O$为位似中心放大，得到$\triangle A'B'C'$.若点$A$和它的对应点$A'$的坐标分别为$(3,7)$，$(-9,-21)$，则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的相似比为
$\frac{1}{3}$
.答案：$\frac{1}{3}$
14. 如图，在$\triangle ABC$中，延长$AC$至点$D$，使$CD=CA$，过点$D$作$DE// CB$，且$DE=DC$，连接$AE$交$BC$于点$F$.若$\angle CAB=\angle CFA$，$CF=1$，则$BF=$
3
.答案：3
15. 如图所示为一个直棱柱的三视图，这个直棱柱的表面积是
36
.答案：36
解析：
解：由三视图可知，该直棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边分别为3、4，斜边长为5，棱柱的高为2。
底面三角形面积：$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$，两个底面面积和：$2 × 6 = 12$。
侧面展开图为矩形，侧面积：$(3 + 4 + 5) × 2 = 24$。
表面积：$12 + 24 = 36$。
36
底面三角形面积：$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$，两个底面面积和：$2 × 6 = 12$。
侧面展开图为矩形，侧面积：$(3 + 4 + 5) × 2 = 24$。
表面积：$12 + 24 = 36$。
36