25. (13分)如图，点$C$在以$AB$为直径的$\odot O$上，点$D$在$BA$的延长线上，$\angle DCA=\angle CBA$.
(1) 求证：$DC$是$\odot O$的切线.
(2) $G$是半径$OB$上的点，过点$G$作$OB$的垂线，与$BC$交于点$F$，与$DC$的延长线交于点$E$.若$\sin D=\frac{4}{5}$，$DA=FG=2$，求$CE$的长.
(1) 求证：$DC$是$\odot O$的切线.
(2) $G$是半径$OB$上的点，过点$G$作$OB$的垂线，与$BC$交于点$F$，与$DC$的延长线交于点$E$.若$\sin D=\frac{4}{5}$，$DA=FG=2$，求$CE$的长.
答案：
25.(1)如图，连接OC.
∵$OB = OC$，
∴∠OBC = ∠OCB.
∵∠DCA = ∠CBA，即∠DCA = ∠OBC，
∴∠DCA = ∠OCB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠DCA + ∠OCA = ∠OCB + ∠OCA = 90°.
∴∠OCD = 90°.
∴$OC⊥DC$.又
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线. (2)设$OC = OA = r$.由(1)知，∠OCD = 90°，
∴在Rt△OCD中，$\sin D = \frac{OC}{OD} = \frac{4}{5}$.
∴$\frac{r}{r + 2} = \frac{4}{5}$，
∴$r = 8$.
∴$OC = OA = 8$.在Rt△OCD中，$CD = \sqrt{OD^2 - OC^2} = \sqrt{(8 + 2)^2 - 8^2} = 6$.
∵$EG⊥OB$，
∴∠EGB = ∠EGD = 90°.
∴∠BFG + ∠CBA = 90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠DCA + ∠ECF = 90°.
∵∠DCA = ∠CBA，
∴∠ECF = ∠BFG.又
∵∠BFG = ∠EFC，
∴∠ECF = ∠EFC.
∴$EC = EF$.设$EC = EF = x$.
∵∠D = ∠D，∠DCO = ∠DGE = 90°，
∴△DOC∽△DEG.
∴$\frac{DO}{DE} = \frac{OC}{EG}$，即$\frac{2 + 8}{x + 6} = \frac{8}{x + 2}$，解得$x = 14$.
∴CE的长为14.
25.(1)如图，连接OC.
∵$OB = OC$，
∴∠OBC = ∠OCB.
∵∠DCA = ∠CBA，即∠DCA = ∠OBC，
∴∠DCA = ∠OCB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠DCA + ∠OCA = ∠OCB + ∠OCA = 90°.
∴∠OCD = 90°.
∴$OC⊥DC$.又
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线. (2)设$OC = OA = r$.由(1)知，∠OCD = 90°，
∴在Rt△OCD中，$\sin D = \frac{OC}{OD} = \frac{4}{5}$.
∴$\frac{r}{r + 2} = \frac{4}{5}$，
∴$r = 8$.
∴$OC = OA = 8$.在Rt△OCD中，$CD = \sqrt{OD^2 - OC^2} = \sqrt{(8 + 2)^2 - 8^2} = 6$.
∵$EG⊥OB$，
∴∠EGB = ∠EGD = 90°.
∴∠BFG + ∠CBA = 90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠DCA + ∠ECF = 90°.
∵∠DCA = ∠CBA，
∴∠ECF = ∠BFG.又
∵∠BFG = ∠EFC，
∴∠ECF = ∠EFC.
∴$EC = EF$.设$EC = EF = x$.
∵∠D = ∠D，∠DCO = ∠DGE = 90°，
∴△DOC∽△DEG.
∴$\frac{DO}{DE} = \frac{OC}{EG}$，即$\frac{2 + 8}{x + 6} = \frac{8}{x + 2}$，解得$x = 14$.
∴CE的长为14.