因为相似三角形面积比等于相似比的平方，已知相似比是$\frac{1}{3}$，所以面积比是$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。D

解：
∵△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O，
∴△ABC∽△A′B′C′，且位似比为$BC:B^{\prime}C^{\prime}=1:2$。
∵位似中心为原点，点B与点B′是对应点，
∴点B′的坐标是点B坐标的2倍。
∵点B的坐标为$(2,0)$，
∴点B′的坐标为$(2×2,0×2)=(4,0)$。
答案：B

证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $\triangle AOB \sim \triangle DOC$，$\triangle AOE \sim \triangle DOF$，$\triangle BOE \sim \triangle COF$。
由 $\triangle AOB \sim \triangle DOC$，得 $\frac{AO}{DO} = \frac{BO}{CO} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
由 $\triangle AOE \sim \triangle DOF$，得 $\frac{EO}{FO} = \frac{AO}{DO} = \frac{1}{2}$。
由 $\triangle BOE \sim \triangle COF$，得 $\frac{EO}{FO} = \frac{BO}{CO} = \frac{1}{2}$。
综上，$\frac{EO}{FO} = \frac{1}{2}$。
答案：C

证明：
∵ $AE // BC$，
∴ $\angle 2 = \angle N$（两直线平行，内错角相等）。
选项A：若$\angle B + \angle 4 = 180°$，
∵ $\angle B + \angle MAB = 180°$（平角定义），
∴ $\angle MAB = \angle 4$，即$\angle MAE = \angle DCN$。
又
∵ $\angle 2 = \angle N$，
∴ $\triangle MAE \backsim \triangle DCN$（AA）。
选项B：若$CD // AB$，
则$\angle M = \angle 3$（两直线平行，内错角相等），
$\angle B = \angle DCN$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $AE // BC$，
∴ $\angle B = \angle 1$（两直线平行，同位角相等），
∴ $\angle 1 = \angle DCN$，即$\angle MAE = \angle DCN$。
又
∵ $\angle 2 = \angle N$，
∴ $\triangle MAE \backsim \triangle DCN$（AA）。
选项C：若$\angle 1 = \angle 4$，
∵ $AE // BC$，
∴ $\angle 1 = \angle B$（两直线平行，同位角相等），
∴ $\angle B = \angle 4$。
∵ $\angle B + \angle MAE = 180°$，$\angle 4 + \angle DCN = 180°$，
∴ $\angle MAE = \angle DCN$。
又
∵ $\angle 2 = \angle N$，
∴ $\triangle MAE \backsim \triangle DCN$（AA）。
选项D：若$\angle 2 = \angle 3$，
仅知$\angle 2 = \angle N$，无法证明$\angle MAE = \angle DCN$或$\angle M = \angle 3$，
即缺少一组对应角相等，无法判定相似。
综上，无法判定$\triangle MAE \backsim \triangle DCN$的条件是D。
答案：D

设竹竿的长为$x$尺。
由题意得，标杆长一尺五寸即$1.5$尺，标杆影长五寸即$0.5$尺，竹竿影长一丈五尺即$15$尺。
因为同一时刻物高与影长成正比，所以$\frac{x}{15}=\frac{1.5}{0.5}$，
解得$x = 45$尺，$45$尺即四丈五尺。
B