一般地，反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象是双曲线，它具有以下性质：
(1)当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
(2)当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
(1)当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
减小
；(2)当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
增大
.答案：(1)减小 (2)增大
1. 关于函数$y = - \frac{2}{x}$,下列说法错误的是 (
A.函数的图象在第二、第四象限
B.函数的图象与坐标轴没有交点
C.$y$随$x$的增大而减小
D.函数的图象关于原点对称
C
)A.函数的图象在第二、第四象限
B.函数的图象与坐标轴没有交点
C.$y$随$x$的增大而减小
D.函数的图象关于原点对称
答案：1.C
2. 已知点$P$在双曲线$y = \frac{6}{x}$第一象限内的分支上,$PA\perp x$轴于点$A$,则$\bigtriangleup OPA$的面积为 (
A.2
B.3
C.4
D.6
B
)A.2
B.3
C.4
D.6
答案：2.B
解析：
设点$P$的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0$，$y＞0$。
因为点$P$在双曲线$y = \frac{6}{x}$上，所以$xy=6$。
由于$PA\perp x$轴于点$A$，则$OA=x$，$PA=y$。
$\triangle OPA$的面积为$\frac{1}{2}× OA× PA=\frac{1}{2}xy$。
将$xy=6$代入，可得面积为$\frac{1}{2}×6 = 3$。
B
因为点$P$在双曲线$y = \frac{6}{x}$上，所以$xy=6$。
由于$PA\perp x$轴于点$A$，则$OA=x$，$PA=y$。
$\triangle OPA$的面积为$\frac{1}{2}× OA× PA=\frac{1}{2}xy$。
将$xy=6$代入，可得面积为$\frac{1}{2}×6 = 3$。
B
3. 若点$A(x_{1}, - 4)$,$B(x_{2},2)$,$C(x_{3},9)$都在双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$上,则$x_{1}$,$x_{2}$,$x_{3}$的大小关系为
$x_{1} \lt x_{3} \lt x_{2}$
(用``$＜$''连接).答案：3.$x_{1} \lt x_{3} \lt x_{2}$
解析：
解：因为点$A(x_{1}, - 4)$，$B(x_{2},2)$，$C(x_{3},9)$都在双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$上，所以：
对于点$A$，$-4=\frac{k}{x_{1}}$，则$x_{1}=-\frac{k}{4}$，因为$k\gt0$，所以$x_{1}\lt0$。
对于点$B$，$2=\frac{k}{x_{2}}$，则$x_{2}=\frac{k}{2}$。
对于点$C$，$9=\frac{k}{x_{3}}$，则$x_{3}=\frac{k}{9}$。
因为$k\gt0$，且$\frac{1}{9}\lt\frac{1}{2}$，所以$\frac{k}{9}\lt\frac{k}{2}$，即$x_{3}\lt x_{2}$。又因为$x_{1}\lt0$，所以$x_{1}\lt x_{3}\lt x_{2}$。
$x_{1} \lt x_{3} \lt x_{2}$
对于点$A$，$-4=\frac{k}{x_{1}}$，则$x_{1}=-\frac{k}{4}$，因为$k\gt0$，所以$x_{1}\lt0$。
对于点$B$，$2=\frac{k}{x_{2}}$，则$x_{2}=\frac{k}{2}$。
对于点$C$，$9=\frac{k}{x_{3}}$，则$x_{3}=\frac{k}{9}$。
因为$k\gt0$，且$\frac{1}{9}\lt\frac{1}{2}$，所以$\frac{k}{9}\lt\frac{k}{2}$，即$x_{3}\lt x_{2}$。又因为$x_{1}\lt0$，所以$x_{1}\lt x_{3}\lt x_{2}$。
$x_{1} \lt x_{3} \lt x_{2}$
4. 反比例函数$y = \frac{k}{x}$与正比例函数$y = - 2x$的图象的一个交点的坐标为$( - 3,6)$,则另一个交点的坐标为
(3,-6)
.答案：4.(3,-6)
5. 如图,正比例函数$y = k_{1}x$与反比例函数$y = \frac{k_{2}}{x}$的图象交于点$A(2,6)$和点$B$.
(1)求点$B$的坐标;
(2)结合图象写出关于$x$的不等式$\frac{k_{2}}{x} ＞ k_{1}x$的解集;
(3)已知点$C$的坐标为$(3,0)$,连接$AC$,$BC$,求$\bigtriangleup ABC$的面积.
(1)求点$B$的坐标;
(2)结合图象写出关于$x$的不等式$\frac{k_{2}}{x} ＞ k_{1}x$的解集;
(3)已知点$C$的坐标为$(3,0)$,连接$AC$,$BC$,求$\bigtriangleup ABC$的面积.
答案：5.(1)
∵反比例函数与正比例函数的图象都是关于原点对称的，
∴它们的交点坐标也是关于原点对称的.
∵点A的坐标为(2,6),
∴点B的坐标为(-2,-6) (2)由图象可知,关于x的不等式$\frac{k_{2}}{x} \gt k_{1}x$的解集为$x \lt -2$或$0 \lt x \lt 2$ (3)
∵点C的坐标为(3,0),
∴$OC=3$.
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2} × 3 × 6+\frac{1}{2} × 3 × 6=18$
∵反比例函数与正比例函数的图象都是关于原点对称的，
∴它们的交点坐标也是关于原点对称的.
∵点A的坐标为(2,6),
∴点B的坐标为(-2,-6) (2)由图象可知,关于x的不等式$\frac{k_{2}}{x} \gt k_{1}x$的解集为$x \lt -2$或$0 \lt x \lt 2$ (3)
∵点C的坐标为(3,0),
∴$OC=3$.
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2} × 3 × 6+\frac{1}{2} × 3 × 6=18$