如果两个三角形的
三组对应边
成比例，那么这两个三角形相似. 用符号语言表述：如图，在$\triangle ABC$和$\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$中，$\because$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$
，$\therefore$$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$
.答案：三组对应边$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}\therefore \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$
1. 下列数据分别表示两个三角形的边长，则两个三角形相似的是 (
A.$3,4,5$与$6,8,10$
B.$2,4,5$与$4,12,9$
C.$\sqrt{3},2,\sqrt{5}$与$2,2.5,4$
D.$1.5,2.5,3.5$与$3,15,17$
A
)A.$3,4,5$与$6,8,10$
B.$2,4,5$与$4,12,9$
C.$\sqrt{3},2,\sqrt{5}$与$2,2.5,4$
D.$1.5,2.5,3.5$与$3,15,17$
答案：1.A
2. 如图，在$4×4$的正方形网格中画$2$个相似三角形，下列各图中，画法正确的有 (
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
D
)A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案：2.D
3. 在$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$BC = 5$，$CA = 6$.
(1) 如果$DE = 10$，那么当$EF =$
(2) 如果$DE = 10$，那么当$EF =$
(1) 如果$DE = 10$，那么当$EF =$
12.5
，$FD =$15
时，$\triangle DEF \backsim \triangle ABC$；(2) 如果$DE = 10$，那么当$EF =$
12
，$FD =$8
时，$\triangle FDE \backsim \triangle ABC$.答案：3.(1)12.5,15 (2)12 8
4. $\triangle ABC$的三边长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的两边长分别为$1$和$\sqrt{2}$，当$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的第三边长为
$\sqrt {3}$
时，$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$相似.答案：4.$\sqrt {3}$
解析：
设$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的第三边长为$x$。
$\triangle ABC$的三边长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$，从小到大排序为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$。
$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的两边长为$1$和$\sqrt{2}$，假设$1＜\sqrt{2}＜x$，则需满足$\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}}{x}$。
计算$\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}$，所以$\frac{\sqrt{15}}{x}=\sqrt{5}$，解得$x=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$。
经检验，$x=\sqrt{3}$满足条件。
$\sqrt{3}$
$\triangle ABC$的三边长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$，从小到大排序为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$。
$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的两边长为$1$和$\sqrt{2}$，假设$1＜\sqrt{2}＜x$，则需满足$\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}}{x}$。
计算$\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}$，所以$\frac{\sqrt{15}}{x}=\sqrt{5}$，解得$x=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$。
经检验，$x=\sqrt{3}$满足条件。
$\sqrt{3}$
5. 在如图所示的网格图中，每个网格都是边长为$1$的正方形. 若$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$都是格点，求证：$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$.
答案：5.$\because$易得$AC = \sqrt {1^2 + 1^2} = \sqrt {2}$,$BC = \sqrt {1^2 + 3^2} = \sqrt {10}$,$AB = 4$,$DF = \sqrt {2^2 + 2^2} = 2\sqrt {2}$,$EF = \sqrt {2^2 + 6^2} = 2\sqrt {10}$,$DE = 8$,
$\therefore \frac{AC}{DF} = \frac{\sqrt {2}}{2\sqrt {2}} = \frac{1}{2}$,$\frac{BC}{EF} = \frac{\sqrt {10}}{2\sqrt {10}} = \frac{1}{2}$,$\frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\therefore \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}\therefore \triangle ABC \sim \triangle DEF$
$\therefore \frac{AC}{DF} = \frac{\sqrt {2}}{2\sqrt {2}} = \frac{1}{2}$,$\frac{BC}{EF} = \frac{\sqrt {10}}{2\sqrt {10}} = \frac{1}{2}$,$\frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\therefore \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}\therefore \triangle ABC \sim \triangle DEF$