如果两个三角形的
$\therefore$
两边成比例
，并且夹角相等
，那么这两个三角形相似. 用符号语言表述：如图，在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$\angle A=\angle A'$
，$\therefore$
$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$
.答案：两边成比例 夹角相等 $\angle A=\angle A'$ $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$
1. 如图所示为$\triangle ABC$，下列四个三角形中，与$\triangle ABC$相似的为 (
C
)答案：1. C
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$AB=AC=6$，$\angle A=30°$，
$\angle B=\angle C=\frac{180° - 30°}{2}=75°$，
$\triangle ABC$的三个内角分别为$30°$，$75°$，$75°$。
选项C的三角形中，有两个内角为$75°$，则第三个内角为$180° - 75° - 75°=30°$，
三个内角分别为$30°$，$75°$，$75°$，与$\triangle ABC$的内角对应相等，
所以选项C的三角形与$\triangle ABC$相似。
C
$\angle B=\angle C=\frac{180° - 30°}{2}=75°$，
$\triangle ABC$的三个内角分别为$30°$，$75°$，$75°$。
选项C的三角形中，有两个内角为$75°$，则第三个内角为$180° - 75° - 75°=30°$，
三个内角分别为$30°$，$75°$，$75°$，与$\triangle ABC$的内角对应相等，
所以选项C的三角形与$\triangle ABC$相似。
C
2. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\angle BAC = \angle D$，要使$\triangle ABC$与$\triangle ADE$相似，还需满足下列条件中的 (
A.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AE}$
C
)A.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AE}$
答案：2. C
解析：
证明：已知在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\angle BAC = \angle D$。
若要使$\triangle ABC \sim \triangle ADE$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，需满足夹$\angle BAC$与$\angle D$的两边对应成比例。
$\angle BAC$的两边为$AB$、$AC$，$\angle D$的两边为$DE$、$AD$，因此需$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$。
答案：C
若要使$\triangle ABC \sim \triangle ADE$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，需满足夹$\angle BAC$与$\angle D$的两边对应成比例。
$\angle BAC$的两边为$AB$、$AC$，$\angle D$的两边为$DE$、$AD$，因此需$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$。
答案：C
3. 如图，$AB\perp CB$于点$B$，$AC\perp CD$于点$C$，$AB = 6$，$AC = 10$. 当$CD =$
$\frac{40}{3}$
时，$\triangle ABC \backsim \triangle ACD$.答案：3. $\frac{40}{3}$
解析：
解：
∵ $AB \perp CB$，$AC \perp CD$，
∴ $\angle B = \angle ACD = 90°$。
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB = 6$，$AC = 10$，
由勾股定理得：$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
若 $\triangle ABC \backsim \triangle ACD$，则 $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$，
即 $\frac{6}{10} = \frac{8}{CD}$，解得 $CD = \frac{8 × 10}{6} = \frac{40}{3}$。
$\frac{40}{3}$
∵ $AB \perp CB$，$AC \perp CD$，
∴ $\angle B = \angle ACD = 90°$。
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB = 6$，$AC = 10$，
由勾股定理得：$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
若 $\triangle ABC \backsim \triangle ACD$，则 $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$，
即 $\frac{6}{10} = \frac{8}{CD}$，解得 $CD = \frac{8 × 10}{6} = \frac{40}{3}$。
$\frac{40}{3}$
4. 如图，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上. 若$AB = 2AE$，$AC = 2AD$，$DE = 5$，则$BC =$
10
.答案：4. 10
解析：
证明：在$\triangle ADE$和$\triangle ACB$中，
$\because AB = 2AE$，$AC = 2AD$，
$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$。
又$\because \angle DAE = \angle CAB$，
$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ACB$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}$。
$\because DE = 5$，
$\therefore BC = 2DE = 2×5 = 10$。
10
$\because AB = 2AE$，$AC = 2AD$，
$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$。
又$\because \angle DAE = \angle CAB$，
$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ACB$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}$。
$\because DE = 5$，
$\therefore BC = 2DE = 2×5 = 10$。
10
5. 如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上，且$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$AE = BE$，连接$DE$，$BD$. 求证：$\angle AED = \angle CBD$.
答案：5. $\because \triangle ABC$为等边三角形，$\therefore \angle A=\angle C=60°$，$BC=AB$。
$\because AE = BE$，$\therefore AB = 2AE$。$\therefore BC = 2AE$。$\because \frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，
$\therefore CD = 2AD$。$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CB}=\frac{1}{2}$。$\because \angle A=\angle C$，$\therefore \triangle AED\sim$
$\triangle CBD$。$\therefore \angle AED=\angle CBD$
$\because AE = BE$，$\therefore AB = 2AE$。$\therefore BC = 2AE$。$\because \frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，
$\therefore CD = 2AD$。$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CB}=\frac{1}{2}$。$\because \angle A=\angle C$，$\therefore \triangle AED\sim$
$\triangle CBD$。$\therefore \angle AED=\angle CBD$