20. (南京)科技节活动中有一项挑战项目：如图所示，A、B、C、D是装满了某一种材料(细盐、铁粉、米粉中的一种)的四个不透明的轻质密闭容器。要求在不打开容器的前提下，将其中装有相同材料的两个容器挑选出来。提供的器材有：① 与密闭容器同样的空容器各一个；② 天平和水。按下列步骤在空白处填上适当的内容。
(1)用天平分别测出图中四个密闭容器的质量mₐ、mᵦ、m꜀、mᵈ。
(2)
(3)若满足关系式：
(1)用天平分别测出图中四个密闭容器的质量mₐ、mᵦ、m꜀、mᵈ。
(2)
用天平分别测出四个装满水后容器的质量$ m'_{A} $、$ m'_{B} $、$ m'_{C} $、$ m'_{D} $
。(3)若满足关系式：
$ \dfrac{m_{A}}{m'_{A}} = \dfrac{m_{C}}{m'_{C}} $
(用测量的物理量表示)，则A、C两容器中所装材料相同。答案：用天平分别测出四个装满水后容器的质量m'_A、m'_B、m'_C、m'_D
$\frac{m_A}{m'_A}=\frac{m_C}{m'_C}$
$\frac{m_A}{m'_A}=\frac{m_C}{m'_C}$
解析：
【分析】
要找出装有相同材料的容器，由于材料密度不同，且容器为轻质密闭容器（自身质量可忽略），材料的密度$\rho = \frac{m}{V}$（$m$为材料质量，$V$为容器容积）。我们可以利用水来测量容器的容积：通过天平测出装满水的容器质量，结合水的密度可得到容器容积。若两个容器中材料密度相同，则材料质量与对应容器装满水的质量的比值相等，据此可判断材料是否相同。
【解析】
(2) 为了得到每个容器的容积，需要利用水的密度已知的特点，步骤为：用天平分别测出四个装满水后容器的质量$m'_A$、$m'_B$、$m'_C$、$m'_D$。
(3) 由于容器是轻质容器，自身质量可忽略，容器的容积$V = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{m'_x}{\rho_{\mathrm{水}}}$（$x$代表A、B、C、D）。
若A、C中材料相同，则材料密度$\rho$相同，即$\rho = \frac{m_A}{V_A} = \frac{m_C}{V_C}$。
将$V_A = \frac{m'_A}{\rho_{\mathrm{水}}}$，$V_C = \frac{m'_C}{\rho_{\mathrm{水}}}$代入得：
$\frac{m_A}{\frac{m'_A}{\rho_{\mathrm{水}}}} = \frac{m_C}{\frac{m'_C}{\rho_{\mathrm{水}}}}$，
约去$\rho_{\mathrm{水}}$后，可得$\frac{m_A}{m'_A} = \frac{m_C}{m'_C}$。
【答案】
(2) 用天平分别测出四个装满水后容器的质量$m'_A$、$m'_B$、$m'_C$、$m'_D$
(3) $\boldsymbol{\frac{m_A}{m'_A}=\frac{m_C}{m'_C}}$
【知识点】
密度的应用、密度公式
【点评】
本题考查密度的实际应用，关键是利用水的密度已知的特点，通过测装满水的容器质量来间接得到容器的容积，进而比较材料的密度，体现了转换法的应用。
【难度系数】
0.6
要找出装有相同材料的容器，由于材料密度不同，且容器为轻质密闭容器（自身质量可忽略），材料的密度$\rho = \frac{m}{V}$（$m$为材料质量，$V$为容器容积）。我们可以利用水来测量容器的容积：通过天平测出装满水的容器质量，结合水的密度可得到容器容积。若两个容器中材料密度相同，则材料质量与对应容器装满水的质量的比值相等，据此可判断材料是否相同。
【解析】
(2) 为了得到每个容器的容积，需要利用水的密度已知的特点，步骤为：用天平分别测出四个装满水后容器的质量$m'_A$、$m'_B$、$m'_C$、$m'_D$。
(3) 由于容器是轻质容器，自身质量可忽略，容器的容积$V = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{m'_x}{\rho_{\mathrm{水}}}$（$x$代表A、B、C、D）。
若A、C中材料相同，则材料密度$\rho$相同，即$\rho = \frac{m_A}{V_A} = \frac{m_C}{V_C}$。
将$V_A = \frac{m'_A}{\rho_{\mathrm{水}}}$，$V_C = \frac{m'_C}{\rho_{\mathrm{水}}}$代入得：
$\frac{m_A}{\frac{m'_A}{\rho_{\mathrm{水}}}} = \frac{m_C}{\frac{m'_C}{\rho_{\mathrm{水}}}}$，
约去$\rho_{\mathrm{水}}$后，可得$\frac{m_A}{m'_A} = \frac{m_C}{m'_C}$。
【答案】
(2) 用天平分别测出四个装满水后容器的质量$m'_A$、$m'_B$、$m'_C$、$m'_D$
(3) $\boldsymbol{\frac{m_A}{m'_A}=\frac{m_C}{m'_C}}$
【知识点】
密度的应用、密度公式
【点评】
本题考查密度的实际应用，关键是利用水的密度已知的特点，通过测装满水的容器质量来间接得到容器的容积，进而比较材料的密度，体现了转换法的应用。
【难度系数】
0.6
21. (苏州)用不同的方法测量小石块和小瓷杯的密度。
(1)测小石块的密度
① 将天平放置于
② 用此天平测量小石块的质量，右盘所加砝码和游码位置如图(a)所示，则小石块的质量为
(2)测小瓷杯的密度
如图(c)所示，先在量筒内倒入适量的水，液面刻度为V₁；再将小瓷杯浸没于水中，液面刻度变为V₂；最后，捞起小瓷杯并将杯中的水倒回量筒，使其浮于水面(水未损失)，液面刻度变为V₃，小瓷杯密度的表达式ρ₍杯₎=
(1)测小石块的密度
① 将天平放置于
水平
工作台上，将游码移到标尺零刻度线
处，调节平衡螺母使横梁平衡。② 用此天平测量小石块的质量，右盘所加砝码和游码位置如图(a)所示，则小石块的质量为
17.4
g。在量筒内放入适量的水，用细线绑好小石块，缓慢放入水中，如图(b)所示，则小石块的密度为$ 3.48 × 10^{3} $
kg/m³。(2)测小瓷杯的密度
如图(c)所示，先在量筒内倒入适量的水，液面刻度为V₁；再将小瓷杯浸没于水中，液面刻度变为V₂；最后，捞起小瓷杯并将杯中的水倒回量筒，使其浮于水面(水未损失)，液面刻度变为V₃，小瓷杯密度的表达式ρ₍杯₎=
$ \dfrac{\rho_{\mathrm{水}}(V_{3} - V_{1})}{V_{2} - V_{1}} $
(用V₁、V₂、V₃和ρ₍水₎表示)。实验完毕，发现小瓷杯内的水未倒干净，则所测结果不变
(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。答案：水平
零刻度线
17.4
$3.48×10^3$
$\frac{\rho_{\mathrm{水}}(V_3-V_1)}{V_2-V_1}$
不变
零刻度线
17.4
$3.48×10^3$
$\frac{\rho_{\mathrm{水}}(V_3-V_1)}{V_2-V_1}$
不变
解析：
【分析】
这道题分为测量小石块和小瓷杯密度两部分，可分模块逐步分析：
1. 测小石块密度：
首先回忆天平的使用规则，使用前的调平操作是固定步骤，必须放在水平台、游码归零后调平衡螺母。
质量测量需结合砝码和游码的示数，注意标尺的分度值；体积通过量筒的液面差计算，最后用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$求解，注意单位换算。
2. 测小瓷杯密度：
瓷杯的体积可通过浸没时量筒的示数差直接得到，因为浸没时排开水的体积等于自身体积。
瓷杯漂浮时，利用“漂浮时浮力等于重力”的条件，结合阿基米德原理推导瓷杯的质量，再代入密度公式得到密度表达式。
误差分析时，考虑杯内残留水的影响：残留水的重力会对应额外的排开水的体积，两者的影响相互抵消，最终不影响瓷杯质量和体积的测量结果，所以密度不变。
【解析】
(1) 测小石块的密度
① 根据天平的使用规范，天平应放置于水平工作台上，将游码移到标尺左端零刻度线处，再调节平衡螺母使横梁平衡。
② 计算小石块的质量：
砝码总质量为$10\,\mathrm{g}+5\,\mathrm{g}=15\,\mathrm{g}$，标尺分度值为$0.2\,\mathrm{g}$，游码对应刻度为$2.4\,\mathrm{g}$，因此石块质量$m=15\,\mathrm{g}+2.4\,\mathrm{g}=17.4\,\mathrm{g}$。
计算小石块的体积：
量筒中水的初始体积$V_{\mathrm{水}}=30\,\mathrm{mL}$，放入石块后总体积$V_{\mathrm{总}}=35\,\mathrm{mL}$，石块体积$V=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{水}}=35\,\mathrm{mL}-30\,\mathrm{mL}=5\,\mathrm{mL}=5\,\mathrm{cm}^3$。
计算小石块的密度：
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入数据得$\rho=\frac{17.4\,\mathrm{g}}{5\,\mathrm{cm}^3}=3.48\,\mathrm{g/cm}^3=3.48×10^3\,\mathrm{kg/m}^3$。
(2) 测小瓷杯的密度
瓷杯的体积：瓷杯浸没在水中时，排开水的体积等于自身体积，即$V_{\mathrm{杯}}=V_2-V_1$。
瓷杯的质量：瓷杯漂浮时，浮力等于重力，即$G_{\mathrm{杯}}=F_{\mathrm{浮}}$。根据阿基米德原理，$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}g(V_3-V_1)$，又$G_{\mathrm{杯}}=m_{\mathrm{杯}}g$，联立得$m_{\mathrm{杯}}g=\rho_{\mathrm{水}}g(V_3-V_1)$，化简得$m_{\mathrm{杯}}=\rho_{\mathrm{水}}(V_3-V_1)$。
瓷杯的密度：将质量和体积代入密度公式，得$\rho_{\mathrm{杯}}=\frac{m_{\mathrm{杯}}}{V_{\mathrm{杯}}}=\frac{\rho_{\mathrm{水}}(V_3-V_1)}{V_2-V_1}$。
误差分析：若小瓷杯内的水未倒干净，残留水的重力会使排开水的体积增加，但残留水的重力与额外排开水的重力相互抵消，最终瓷杯质量和体积的测量值均不受影响，因此所测结果不变。
【答案】
(1) ① 水平；左端零刻度线
② $17.4$；$3.48×10^3$
(2) $\boldsymbol{\frac{\rho_{\mathrm{水}}(V_3-V_1)}{V_2-V_1}}$；不变
【知识点】
1. 天平的使用
2. 密度的测量
3. 漂浮条件应用
【点评】
本题结合了两种固体密度的测量方法：常规的“天平+量筒”法和利用漂浮法的间接测量法，既考查了基本实验仪器的操作技能，又要求学生灵活运用密度公式、漂浮条件和阿基米德原理，同时需具备误差分析的能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
这道题分为测量小石块和小瓷杯密度两部分，可分模块逐步分析：
1. 测小石块密度：
首先回忆天平的使用规则，使用前的调平操作是固定步骤，必须放在水平台、游码归零后调平衡螺母。
质量测量需结合砝码和游码的示数，注意标尺的分度值；体积通过量筒的液面差计算，最后用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$求解，注意单位换算。
2. 测小瓷杯密度：
瓷杯的体积可通过浸没时量筒的示数差直接得到，因为浸没时排开水的体积等于自身体积。
瓷杯漂浮时，利用“漂浮时浮力等于重力”的条件，结合阿基米德原理推导瓷杯的质量，再代入密度公式得到密度表达式。
误差分析时，考虑杯内残留水的影响：残留水的重力会对应额外的排开水的体积，两者的影响相互抵消，最终不影响瓷杯质量和体积的测量结果，所以密度不变。
【解析】
(1) 测小石块的密度
① 根据天平的使用规范，天平应放置于水平工作台上，将游码移到标尺左端零刻度线处，再调节平衡螺母使横梁平衡。
② 计算小石块的质量：
砝码总质量为$10\,\mathrm{g}+5\,\mathrm{g}=15\,\mathrm{g}$，标尺分度值为$0.2\,\mathrm{g}$，游码对应刻度为$2.4\,\mathrm{g}$，因此石块质量$m=15\,\mathrm{g}+2.4\,\mathrm{g}=17.4\,\mathrm{g}$。
计算小石块的体积：
量筒中水的初始体积$V_{\mathrm{水}}=30\,\mathrm{mL}$，放入石块后总体积$V_{\mathrm{总}}=35\,\mathrm{mL}$，石块体积$V=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{水}}=35\,\mathrm{mL}-30\,\mathrm{mL}=5\,\mathrm{mL}=5\,\mathrm{cm}^3$。
计算小石块的密度：
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入数据得$\rho=\frac{17.4\,\mathrm{g}}{5\,\mathrm{cm}^3}=3.48\,\mathrm{g/cm}^3=3.48×10^3\,\mathrm{kg/m}^3$。
(2) 测小瓷杯的密度
瓷杯的体积：瓷杯浸没在水中时，排开水的体积等于自身体积，即$V_{\mathrm{杯}}=V_2-V_1$。
瓷杯的质量：瓷杯漂浮时，浮力等于重力，即$G_{\mathrm{杯}}=F_{\mathrm{浮}}$。根据阿基米德原理，$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}g(V_3-V_1)$，又$G_{\mathrm{杯}}=m_{\mathrm{杯}}g$，联立得$m_{\mathrm{杯}}g=\rho_{\mathrm{水}}g(V_3-V_1)$，化简得$m_{\mathrm{杯}}=\rho_{\mathrm{水}}(V_3-V_1)$。
瓷杯的密度：将质量和体积代入密度公式，得$\rho_{\mathrm{杯}}=\frac{m_{\mathrm{杯}}}{V_{\mathrm{杯}}}=\frac{\rho_{\mathrm{水}}(V_3-V_1)}{V_2-V_1}$。
误差分析：若小瓷杯内的水未倒干净，残留水的重力会使排开水的体积增加，但残留水的重力与额外排开水的重力相互抵消，最终瓷杯质量和体积的测量值均不受影响，因此所测结果不变。
【答案】
(1) ① 水平；左端零刻度线
② $17.4$；$3.48×10^3$
(2) $\boldsymbol{\frac{\rho_{\mathrm{水}}(V_3-V_1)}{V_2-V_1}}$；不变
【知识点】
1. 天平的使用
2. 密度的测量
3. 漂浮条件应用
【点评】
本题结合了两种固体密度的测量方法：常规的“天平+量筒”法和利用漂浮法的间接测量法，既考查了基本实验仪器的操作技能，又要求学生灵活运用密度公式、漂浮条件和阿基米德原理，同时需具备误差分析的能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
22. (连云港)为了测量樱桃酒的密度，小明进行了如下实验。
(1)将空烧杯放在天平上，测出其质量为48 g。
(2)在烧杯中倒入适量的水，将水面的位置标记在烧杯壁上。将盛有水的烧杯放在天平上，测出其质量为128 g，则烧杯中水的体积为
(3)倒出水，向烧杯中倒入樱桃酒至标记处，将此烧杯放在天平上。天平平衡时，右盘中砝码质量和游码的位置如图所示，则烧杯和樱桃酒的总质量为
(4)计算得出樱桃酒的密度为
(1)将空烧杯放在天平上，测出其质量为48 g。
(2)在烧杯中倒入适量的水，将水面的位置标记在烧杯壁上。将盛有水的烧杯放在天平上，测出其质量为128 g，则烧杯中水的体积为
80
cm³。(3)倒出水，向烧杯中倒入樱桃酒至标记处，将此烧杯放在天平上。天平平衡时，右盘中砝码质量和游码的位置如图所示，则烧杯和樱桃酒的总质量为
116
g。(4)计算得出樱桃酒的密度为
$ 0.85 × 10^{3} $
kg/m³。答案：80
116
$0.85×10^3$
116
$0.85×10^3$
解析：
【分析】
1. 第(2)问：先通过总质量与空烧杯质量的差值求出水的质量，再结合水的密度，利用密度公式的变形公式计算水的体积，该体积与后续樱桃酒的体积相等。
2. 第(3)问：天平读数时，总质量等于砝码总质量加上游码对应的刻度值，需先读取砝码总质量，再确定游码对应的刻度值后求和。
3. 第(4)问：先通过烧杯和樱桃酒的总质量减去空烧杯质量得到樱桃酒的质量，再利用樱桃酒与水的体积相等的关系，结合密度公式计算樱桃酒的密度，最后完成单位换算。
【解析】
(2) 烧杯中水的质量：$m_{水}=128g - 48g = 80g$
由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形得，水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{80g}{1g/cm^{3}}=80cm^{3}$
(3) 由图可知，砝码总质量为$100g+10g+5g=115g$，游码对应的刻度值为$1g$，则烧杯和樱桃酒的总质量：
$m_{总}=115g+1g=116g$
(4) 樱桃酒的质量：$m_{酒}=116g - 48g = 68g$
樱桃酒的体积：$V_{酒}=V_{水}=80cm^{3}$
樱桃酒的密度：
$\rho_{酒}=\frac{m_{酒}}{V_{酒}}=\frac{68g}{80cm^{3}}=0.85g/cm^{3}=0.85×10^{3}kg/m^{3}$
【答案】
(2) $\boldsymbol{80}$
(3) $\boldsymbol{116}$
(4) $\boldsymbol{0.85×10^3}$
【知识点】
天平的使用、密度的计算、密度单位换算
【点评】
本题考查密度的测量实验，利用等效替代法得到樱桃酒的体积，结合天平读数和密度公式完成计算，重点考查对密度实验原理的理解和基本实验操作的掌握。
【难度系数】
0.8
1. 第(2)问：先通过总质量与空烧杯质量的差值求出水的质量，再结合水的密度，利用密度公式的变形公式计算水的体积，该体积与后续樱桃酒的体积相等。
2. 第(3)问：天平读数时，总质量等于砝码总质量加上游码对应的刻度值，需先读取砝码总质量，再确定游码对应的刻度值后求和。
3. 第(4)问：先通过烧杯和樱桃酒的总质量减去空烧杯质量得到樱桃酒的质量，再利用樱桃酒与水的体积相等的关系，结合密度公式计算樱桃酒的密度，最后完成单位换算。
【解析】
(2) 烧杯中水的质量：$m_{水}=128g - 48g = 80g$
由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形得，水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{80g}{1g/cm^{3}}=80cm^{3}$
(3) 由图可知，砝码总质量为$100g+10g+5g=115g$，游码对应的刻度值为$1g$，则烧杯和樱桃酒的总质量：
$m_{总}=115g+1g=116g$
(4) 樱桃酒的质量：$m_{酒}=116g - 48g = 68g$
樱桃酒的体积：$V_{酒}=V_{水}=80cm^{3}$
樱桃酒的密度：
$\rho_{酒}=\frac{m_{酒}}{V_{酒}}=\frac{68g}{80cm^{3}}=0.85g/cm^{3}=0.85×10^{3}kg/m^{3}$
【答案】
(2) $\boldsymbol{80}$
(3) $\boldsymbol{116}$
(4) $\boldsymbol{0.85×10^3}$
【知识点】
天平的使用、密度的计算、密度单位换算
【点评】
本题考查密度的测量实验，利用等效替代法得到樱桃酒的体积，结合天平读数和密度公式完成计算，重点考查对密度实验原理的理解和基本实验操作的掌握。
【难度系数】
0.8