• 跟踪练习 3 在△ABC 中，画边 BC 上的高，下列画法正确的是().
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：
根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。边BC上的高应是从顶点A向BC所在直线作垂线，垂足为D，则AD为BC边上的高。选项A中是过D作BC的垂线，D不是顶点；选项B中是过A作AC的垂线，不是BC边上的高；选项C中是过B作BC的垂线，不是从A作；选项D符合从A向BC所在直线作垂线。
1. 下列说法正确的有().
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高都在三角形内部；
③三角形的三条角平分线在三角形内部相交于一点；
④三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高都在三角形内部；
③三角形的三条角平分线在三角形内部相交于一点；
④三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：A（B（这里应为B选项对应2个正确，原写A错误，正确应如下）修正为）B
解析：
①三角形的中线是线段，角平分线也是线段，不是射线，所以该说法错误；
②锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部，所以该说法错误；
③三角形的三条角平分线在三角形内部相交于一点，这是三角形角平分线的基本性质，所以该说法正确；
④因为三角形中线将三角形分成的两个三角形等底同高，根据三角形面积公式可知这两个三角形面积相等，所以该说法正确。
综上，③④说法正确，正确的有2个。
②锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部，所以该说法错误；
③三角形的三条角平分线在三角形内部相交于一点，这是三角形角平分线的基本性质，所以该说法正确；
④因为三角形中线将三角形分成的两个三角形等底同高，根据三角形面积公式可知这两个三角形面积相等，所以该说法正确。
综上，③④说法正确，正确的有2个。
2. 如图，在△ABC 中，AE 是高，AF 是中线. 若 AE = 3，$S_{△ABC} = 6，$则 BF =().
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：
已知$AE$是高，$AF$是中线，$AE = 3$，$S_{△ ABC}=6$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，在$△ ABC$中，以$BC$为底，$AE$为高，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$。
将$AE = 3$，$S_{△ ABC}=6$代入$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$中，可得$6=\frac{1}{2}× BC×3$。
先化简方程$6=\frac{1}{2}× BC×3$，即$6=\frac{3}{2}BC$，两边同时乘以$\frac{2}{3}$，解得$BC = 4$。
因为$AF$是中线，根据三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以$F$为$BC$中点，那么$BF=\frac{1}{2}BC$。
把$BC = 4$代入$BF=\frac{1}{2}BC$，可得$BF = 2$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，在$△ ABC$中，以$BC$为底，$AE$为高，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$。
将$AE = 3$，$S_{△ ABC}=6$代入$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$中，可得$6=\frac{1}{2}× BC×3$。
先化简方程$6=\frac{1}{2}× BC×3$，即$6=\frac{3}{2}BC$，两边同时乘以$\frac{2}{3}$，解得$BC = 4$。
因为$AF$是中线，根据三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以$F$为$BC$中点，那么$BF=\frac{1}{2}BC$。
把$BC = 4$代入$BF=\frac{1}{2}BC$，可得$BF = 2$。
3. 如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，请完成以下填空：
(1)BE = = $\frac{1}{2}$；
(2)∠BAD = = $\frac{1}{2}$；
(3)∠AFB = = 90°；
(4)S_{△ABC} = .
(1)BE = = $\frac{1}{2}$；
(2)∠BAD = = $\frac{1}{2}$；
(3)∠AFB = = 90°；
(4)S_{△ABC} = .
答案：(1)EC，BC；
(2)∠CAD，∠BAC；
(3)∠AFC；
(4)$\frac{1}{2}$BC·AF
(2)∠CAD，∠BAC；
(3)∠AFC；
(4)$\frac{1}{2}$BC·AF
解析：
(1)∵AE是中线，∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC；
(2)∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；
(3)∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°；
(4)S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$BC·AF。
(2)∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；
(3)∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°；
(4)S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$BC·AF。
4. 如图，AD 为△ABC 的中线，AB = 13 cm，AC = 10 cm. 若△ACD 的周长为 30 cm，则△ABD 的周长为.
答案：33
解析：
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD。
∵△ACD的周长为30 cm，AC=10 cm，
∴AD+CD+AC=30 cm，即AD+CD=30-10=20 cm。
∵BD=CD，∴AD+BD=20 cm。
∵AB=13 cm，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=13+20=33 cm。
∵△ACD的周长为30 cm，AC=10 cm，
∴AD+CD+AC=30 cm，即AD+CD=30-10=20 cm。
∵BD=CD，∴AD+BD=20 cm。
∵AB=13 cm，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=13+20=33 cm。
5. 如图，在△ABC 中，AE ⊥ BC，CD ⊥ AB，垂足分别为 E，D，AB = 6，AE = 5，BC = 7，则 CD = .
答案：$\frac{35}{6}$
解析：
在△ABC中，利用AE垂直于BC，且AE = 5，BC = 7，可以求出△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AE = \frac{1}{2} × 7 × 5 = \frac{35}{2}$。
又因为CD垂直于AB，且AB = 6，可以用面积公式表达△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 6 × CD$。
将两个面积公式相等：
$\frac{35}{2} = \frac{1}{2} × 6 × CD$。
$ CD = \frac{35}{6}$。
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AE = \frac{1}{2} × 7 × 5 = \frac{35}{2}$。
又因为CD垂直于AB，且AB = 6，可以用面积公式表达△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 6 × CD$。
将两个面积公式相等：
$\frac{35}{2} = \frac{1}{2} × 6 × CD$。
$ CD = \frac{35}{6}$。