6.计算:
(1)(3a²b)3(−2ab²)²÷(6a5b²);
(2)(x3y2)÷[(−xy3)÷(−$\frac{1}{3}$x3y2)]
(1)(3a²b)3(−2ab²)²÷(6a5b²);
(2)(x3y2)÷[(−xy3)÷(−$\frac{1}{3}$x3y2)]
答案：(1)$18a^3b^5$；(2)$\frac{1}{3}x^5y$
解析：
(1) 原式$=(3^3a^{2×3}b^3)×[(-2)^2a^2b^{2×2}]÷(6a^5b^2)$
$=(27a^6b^3)×(4a^2b^4)÷(6a^5b^2)$
$=(27×4)a^{6+2}b^{3+4}÷(6a^5b^2)$
$=108a^8b^7÷(6a^5b^2)$
$=(108÷6)a^{8-5}b^{7-2}$
$=18a^3b^5$
(2) 原式$=x^3y^2÷[(-xy^3)÷(-\frac{1}{3}x^3y^2)]$
$=x^3y^2÷[(1÷\frac{1}{3})x^{1-3}y^{3-2}]$
$=x^3y^2÷(3x^{-2}y)$
$=x^3y^2×\frac{x^2}{3y}$
$=\frac{1}{3}x^{3+2}y^{2-1}$
$=\frac{1}{3}x^5y$
$=(27a^6b^3)×(4a^2b^4)÷(6a^5b^2)$
$=(27×4)a^{6+2}b^{3+4}÷(6a^5b^2)$
$=108a^8b^7÷(6a^5b^2)$
$=(108÷6)a^{8-5}b^{7-2}$
$=18a^3b^5$
(2) 原式$=x^3y^2÷[(-xy^3)÷(-\frac{1}{3}x^3y^2)]$
$=x^3y^2÷[(1÷\frac{1}{3})x^{1-3}y^{3-2}]$
$=x^3y^2÷(3x^{-2}y)$
$=x^3y^2×\frac{x^2}{3y}$
$=\frac{1}{3}x^{3+2}y^{2-1}$
$=\frac{1}{3}x^5y$
7.小亮在计算(6x²y−3x²y²)÷(3xy)
时，错把多项式的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是().
A.2x²−xy
B.2x²+xy
C.4x4+x²y2
D.4x4−x²y2
时，错把多项式的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是().
A.2x²−xy
B.2x²+xy
C.4x4+x²y2
D.4x4−x²y2
答案：D
解析：
正确计算：$(6x^{2}y - 3x^{2}y^{2})÷(3xy)=6x^{2}y÷(3xy)-3x^{2}y^{2}÷(3xy) = 2x - xy$；
错误计算：$(6x^{2}y + 3x^{2}y^{2})÷(3xy)=6x^{2}y÷(3xy)+3x^{2}y^{2}÷(3xy)=2x + xy$；
求正确结果与错误结果的乘积：$(2x - xy)(2x + xy)=(2x)^{2}-(xy)^{2}=4x^{2}-x^{2}y^{2}$（根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 2x$，$b = xy$）。
错误计算：$(6x^{2}y + 3x^{2}y^{2})÷(3xy)=6x^{2}y÷(3xy)+3x^{2}y^{2}÷(3xy)=2x + xy$；
求正确结果与错误结果的乘积：$(2x - xy)(2x + xy)=(2x)^{2}-(xy)^{2}=4x^{2}-x^{2}y^{2}$（根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 2x$，$b = xy$）。
8.已知M，N均为整式，M=(xy+1).
(xy−2)−2x²y²+2，小刚在计算M÷N
时，误把“÷”抄成了“一”，这样他计算的
结果为−x²y².
(1)将整式M化为最简形式;
(2)求M÷N的正确结果.
(xy−2)−2x²y²+2，小刚在计算M÷N
时，误把“÷”抄成了“一”，这样他计算的
结果为−x²y².
(1)将整式M化为最简形式;
(2)求M÷N的正确结果.
答案：(1) $ M=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2 $
$\begin{aligned}&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=(x^2y^2-2x^2y^2)+(-2xy+xy)+(-2+2)\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 由题意得 $ M - N = -x^2y^2 $，则 $ N = M - (-x^2y^2) = M + x^2y^2 $
$N = (-x^2y^2 - xy) + x^2y^2 = -xy$
$ M÷ N = (-x^2y^2 - xy)÷(-xy) = xy + 1 $
(1) $-x^2y^2 - xy$；(2) $xy + 1$
$\begin{aligned}&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=(x^2y^2-2x^2y^2)+(-2xy+xy)+(-2+2)\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 由题意得 $ M - N = -x^2y^2 $，则 $ N = M - (-x^2y^2) = M + x^2y^2 $
$N = (-x^2y^2 - xy) + x^2y^2 = -xy$
$ M÷ N = (-x^2y^2 - xy)÷(-xy) = xy + 1 $
(1) $-x^2y^2 - xy$；(2) $xy + 1$
9.(创新考法)信息时代确保信息的安
全很重要，于是在传输信息的时候需要加密
传输，发送方将明文加密为密文传输给接收
方，接收方收到密文后解密还原为明文.已
知某种加密规则如图所示，当发送方发送出
α=1，b=2时，接收方收到的密文之积mn=
.
全很重要，于是在传输信息的时候需要加密
传输，发送方将明文加密为密文传输给接收
方，接收方收到密文后解密还原为明文.已
知某种加密规则如图所示，当发送方发送出
α=1，b=2时，接收方收到的密文之积mn=
.
答案：9
解析：
当$a=1$，$b=2$时，
$m=a^{2}+ab^{2}+\frac{1}{4}b^{2}=1^{2}+1×2^{2}+\frac{1}{4}×2^{2}=1 + 4 + 1 = 6$；
$n=(4a^{2}b - 2a^{3})÷(-2a)^{2}=(4a^{2}b - 2a^{3})÷4a^{2}=b - \frac{1}{2}a=2 - \frac{1}{2}×1=\frac{3}{2}$；
$mn=6×\frac{3}{2}=9$。
$m=a^{2}+ab^{2}+\frac{1}{4}b^{2}=1^{2}+1×2^{2}+\frac{1}{4}×2^{2}=1 + 4 + 1 = 6$；
$n=(4a^{2}b - 2a^{3})÷(-2a)^{2}=(4a^{2}b - 2a^{3})÷4a^{2}=b - \frac{1}{2}a=2 - \frac{1}{2}×1=\frac{3}{2}$；
$mn=6×\frac{3}{2}=9$。
10.(数学思想方法)[阅读材料]由两
个或两类对象在某些方面的相同或相似，得
出它们在其他方面也可能相同或相似的推理
方法叫作类比法多项式除以多项式可以类
比多位数的除法进行计算.
如图(1)，可得
278÷12=23.……....,2,
(x3+2x²−3)÷(x−1)=x²+3x+3.
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤
如下:
①把被除式和除式按同一字母的指数从
大到小依次排列(若有缺项用零补齐);
②用竖式进行运算;
③当余式的次数低于除式的次数时，运
算终止，得到商式和余式.若余式为零，说
明被除式能被除式整除.
例如:(x²+2x²−3)÷(x−1)=x²+3x+
3，因为余式为0，所以x²+2x²−3能被x−1
整除.
根据以上材料，解答下列问题:
(1)(x²+7x+6)÷(x+1)=.
(2)求(6×3+14x²+19)÷(3x²−2x+
4)所得的余式.
(3)已知x3−x²+ax+3能被x+3整
除，则a=.
(4)如图(2)，有3张A卡片，16张B
卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成
一个与原来总面积相等且一边长为α+5b的
长方形？若能，求出另一边长;若不能，请
说明理由.
个或两类对象在某些方面的相同或相似，得
出它们在其他方面也可能相同或相似的推理
方法叫作类比法多项式除以多项式可以类
比多位数的除法进行计算.
如图(1)，可得
278÷12=23.……....,2,
(x3+2x²−3)÷(x−1)=x²+3x+3.
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤
如下:
①把被除式和除式按同一字母的指数从
大到小依次排列(若有缺项用零补齐);
②用竖式进行运算;
③当余式的次数低于除式的次数时，运
算终止，得到商式和余式.若余式为零，说
明被除式能被除式整除.
例如:(x²+2x²−3)÷(x−1)=x²+3x+
3，因为余式为0，所以x²+2x²−3能被x−1
整除.
根据以上材料，解答下列问题:
(1)(x²+7x+6)÷(x+1)=.
(2)求(6×3+14x²+19)÷(3x²−2x+
4)所得的余式.
(3)已知x3−x²+ax+3能被x+3整
除，则a=.
(4)如图(2)，有3张A卡片，16张B
卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成
一个与原来总面积相等且一边长为α+5b的
长方形？若能，求出另一边长;若不能，请
说明理由.
答案：(1) $x + 6$
(2) 竖式计算如下：
被除式：$6x^3 + 14x^2 + 0x + 19$，除式：$3x^2 - 2x + 4$
商式第一项：$6x^3 ÷ 3x^2 = 2x$，乘除式得$6x^3 - 4x^2 + 8x$，相减得$18x^2 - 8x + 19$；
商式第二项：$18x^2 ÷ 3x^2 = 6$，乘除式得$18x^2 - 12x + 24$，相减得$4x - 5$。
余式为$4x - 5$
(3) $-11$
(4) 能，另一边长为$3a + b$
(2) 竖式计算如下：
被除式：$6x^3 + 14x^2 + 0x + 19$，除式：$3x^2 - 2x + 4$
商式第一项：$6x^3 ÷ 3x^2 = 2x$，乘除式得$6x^3 - 4x^2 + 8x$，相减得$18x^2 - 8x + 19$；
商式第二项：$18x^2 ÷ 3x^2 = 6$，乘除式得$18x^2 - 12x + 24$，相减得$4x - 5$。
余式为$4x - 5$
(3) $-11$
(4) 能，另一边长为$3a + b$