1. 下列计算正确的是().
A.$a^{3}· a^{4}=a^{12}$
B.$a^{6}÷ a^{2}=a^{3}$
C.$(a^{2})^{3}=a^{6}$
D.$a^{2}-a=a$
A.$a^{3}· a^{4}=a^{12}$
B.$a^{6}÷ a^{2}=a^{3}$
C.$(a^{2})^{3}=a^{6}$
D.$a^{2}-a=a$
答案：C
解析：
A. 根据同底数幂的乘法法则，$a^{m} · a^{n} = a^{m+n}$，所以 $a^{3} · a^{4} = a^{3+4} = a^{7}$，与选项A中的 $a^{12}$ 不符，故A错误；
B. 根据同底数幂的除法法则，$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，所以 $a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$，与选项B中的 $a^{3}$ 不符，故B错误；
C. 根据幂的乘方法则，$(a^{m})^{n} = a^{m × n}$，所以 $(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$，与选项C中的 $a^{6}$ 相符，故C正确；
D. $a^{2}$ 和 $a$ 不是同类项，因此不能合并，故D错误。
B. 根据同底数幂的除法法则，$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，所以 $a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$，与选项B中的 $a^{3}$ 不符，故B错误；
C. 根据幂的乘方法则，$(a^{m})^{n} = a^{m × n}$，所以 $(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$，与选项C中的 $a^{6}$ 相符，故C正确；
D. $a^{2}$ 和 $a$ 不是同类项，因此不能合并，故D错误。
2. 已知 $x^{2}+mxy + 9y^{2}$ 是完全平方式，则 $m=$().
A.$3$
B.$-3$
C.$-6$
D.$\pm 6$
A.$3$
B.$-3$
C.$-6$
D.$\pm 6$
答案：D
解析：
由于$x^{2} + mxy + 9y^{2}$是完全平方式，则可以表示为$(x + ay)^{2}$或$(x - ay)^{2}$的形式。
展开$(x + ay)^{2}$得到$x^{2} + 2axy + a^{2}y^{2}$，与$x^{2} + mxy + 9y^{2}$对比，可知$a^{2} = 9$，所以$a = \pm 3$。
同时，$2a = m$，因此$m = 2 × 3$或$m = 2 × (-3)$，即$m = \pm 6$。
展开$(x + ay)^{2}$得到$x^{2} + 2axy + a^{2}y^{2}$，与$x^{2} + mxy + 9y^{2}$对比，可知$a^{2} = 9$，所以$a = \pm 3$。
同时，$2a = m$，因此$m = 2 × 3$或$m = 2 × (-3)$，即$m = \pm 6$。
3. 已知 $x^{n}=2$，$y^{n}=5$($n$ 是正整数)，则 $(xy)^{3n}=$().
A.$10$
B.$125$
C.$133$
D.$1000$
A.$10$
B.$125$
C.$133$
D.$1000$
答案：D
解析：
因为 $x^{n}=2$，$y^{n}=5$，所以 $(xy)^{n}=x^{n}y^{n}=2×5=10$。则 $(xy)^{3n}=[(xy)^{n}]^{3}=10^{3}=1000$。
4. 已知 $(x + y)^{2}=49$，$(x - y)^{2}=25$，则 $xy=$().
A.$24$
B.$12$
C.$6$
D.$3$
A.$24$
B.$12$
C.$6$
D.$3$
答案：C
解析：
由已知$(x + y)^{2} = 49$，$(x - y)^{2} = 25$，根据完全平方公式$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab + b^{2}$展开可得：
$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}=49$ ①；
$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}=25$ ②。
用①式减去②式可得：$(x^{2}+2xy + y^{2})-(x^{2}-2xy + y^{2})=49 - 25$，去括号得$x^{2}+2xy + y^{2}-x^{2}+2xy - y^{2}=24$，合并同类项得$4xy = 24$，解得$xy = 6$。
5. 我们知道，$x^{2}=-1$ 不成立，即不存在平方等于 $-1$ 的实数. 若我们规定一个新数 $ i$，使其满足 $ i^{2}=-1$(即使 $x^{2}=-1$ 成立的条件为 $x= i$)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立. 于是有 $ i^{1}= i$，$ i^{2}=-1$，$ i^{3}= i^{2}· i=(-1)· i=- i$，$ i^{4}=( i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$，从而对于任意正整数 $n$，可得 $ i^{4n + 1}= i^{4n}· i=( i^{4})^{n}· i= i$，同理可得 $ i^{4n + 2}=-1$，$ i^{4n + 3}=- i$，$ i^{4n}=1$，那么 $ i+ i^{2}+ i^{3}+ i^{4}+·s+ i^{2025}+ i^{2026}+ i^{2027}$ 的值为().
A.$0$
B.$-1$
C.$1$
D.$ i$
A.$0$
B.$-1$
C.$1$
D.$ i$
答案：B
解析：
由题意知，i的幂次以4为周期循环，即i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，且每周期和为i+i²+i³+i⁴=i-1-i+1=0。
从i¹到i²⁰²⁷共2027项，2027=4×506+3，即有506个完整周期（和为0），剩余3项为i²⁰²⁵、i²⁰²⁶、i²⁰²⁷。
因2025=4×506+1，2026=4×506+2，2027=4×506+3，故i²⁰²⁵=i，i²⁰²⁶=-1，i²⁰²⁷=-i。
剩余3项和为i+(-1)+(-i)=-1，总原式=0+(-1)=-1。
从i¹到i²⁰²⁷共2027项，2027=4×506+3，即有506个完整周期（和为0），剩余3项为i²⁰²⁵、i²⁰²⁶、i²⁰²⁷。
因2025=4×506+1，2026=4×506+2，2027=4×506+3，故i²⁰²⁵=i，i²⁰²⁶=-1，i²⁰²⁷=-i。
剩余3项和为i+(-1)+(-i)=-1，总原式=0+(-1)=-1。
6. 化简 $3a^{2}(2a - 6)=$.
答案：$6a^{3} - 18a^{2}$（写填答案框要求（可能原题是填空题）则填具体式子即可，这里按要求以式子形式呈现结果）。
解析：
根据单项式与多项式相乘的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再将所得的积相加。对于$3a^{2}(2a - 6)$，用$3a^{2}$分别乘以$2a$与$-6$，然后相加，即$3a^{2}×2a-3a^{2}×6$，再根据同底数幂的乘法法则计算$3a^{2}×2a = 6a^{3}$，$3a^{2}×6 = 18a^{2}$，所以结果为$6a^{3}-18a^{2}$。
7. 计算：$(-\dfrac{1}{4})^{2025}×4^{2026}=$.
答案：$-4$（如果选项里是具体数值则按对应选项填写）。
解析：
根据积的乘方公式，$a^n× b^n=(ab)^n$，对$(-\dfrac{1}{4})^{2025}×4^{2026}$进行变形，$4^{2026}=4^{2025}×4$，则原式可化为$(-\dfrac{1}{4})^{2025}×4^{2025}×4$，进一步得到$[(-\dfrac{1}{4})×4]^{2025}×4$，先计算括号内的值$(-\dfrac{1}{4})×4 = - 1$，则$(-1)^{2025}=-1$，所以$(-1)×4=-4$。
8. 已知 $(y^{2}+my - 3)(2y + n)$ 的展开式中不含 $y$ 的一次项，常数项是 $2$，则 $m$ 的值为.
答案：-9
解析：
展开$(y^{2}+my - 3)(2y + n)$，得：
$2y^3 + (n + 2m)y^2 + (mn - 6)y - 3n$。
由常数项是$2$，得$-3n = 2$，解得$n=-\frac{2}{3}$。
由不含$y$的一次项，得$mn - 6 = 0$，将$n=-\frac{2}{3}$代入，得$-\frac{2}{3}m - 6 = 0$，解得$m=-9$。
$2y^3 + (n + 2m)y^2 + (mn - 6)y - 3n$。
由常数项是$2$，得$-3n = 2$，解得$n=-\frac{2}{3}$。
由不含$y$的一次项，得$mn - 6 = 0$，将$n=-\frac{2}{3}$代入，得$-\frac{2}{3}m - 6 = 0$，解得$m=-9$。
9. 如图（1），从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图（2）所示的长方形. 根据图（2）与图（1）的关系写出一个等式：（用含 $a$，$b$ 的代数式表示）.
答案：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
解析：
从图（1）中可以看出，剪掉一个边长为 $b$ 的正方形后，剩余部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，即 $a^2 - b^2$。
图（2）中，将剩余部分拼成一个长方形，长为 $a + b$，宽为 $a - b$，所以面积为 $(a + b)(a - b)$。
因此，根据面积相等的关系，可以写出等式：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
图（2）中，将剩余部分拼成一个长方形，长为 $a + b$，宽为 $a - b$，所以面积为 $(a + b)(a - b)$。
因此，根据面积相等的关系，可以写出等式：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
10. 计算：
（1）$3xy·2y + x(2x - y^{2})$；
（2）$(2m + n)(m^{2}-n)$.
（1）$3xy·2y + x(2x - y^{2})$；
（2）$(2m + n)(m^{2}-n)$.
答案：（1）原式$=6xy^{2}+2x^{2}-xy^{2}=2x^{2}+5xy^{2}$
（2）原式$=2m·m^{2}-2m·n + n·m^{2}-n·n=2m^{3}-2mn + m^{2}n - n^{2}$
（2）原式$=2m·m^{2}-2m·n + n·m^{2}-n·n=2m^{3}-2mn + m^{2}n - n^{2}$