1. 把多项式 $4a^{2}-1$ 分解因式，正确的结果是()。
A.$(2a+1)^{2}$
B.$(2a-1)^{2}$
C.$(2a+1)(2a-1)$
D.$(4a+1)(4a-1)$
A.$(2a+1)^{2}$
B.$(2a-1)^{2}$
C.$(2a+1)(2a-1)$
D.$(4a+1)(4a-1)$
答案：C
解析：
多项式 $4a^{2} - 1$ 可以看作是 $(2a)^{2} - 1^{2}$，根据平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$，将 $a$ 替换为 $2a$，$b$ 替换为 $1$，得到：
$4a^{2} - 1 = (2a + 1)(2a - 1)$。
与选项进行对比，可以看出正确答案是 C。
$4a^{2} - 1 = (2a + 1)(2a - 1)$。
与选项进行对比，可以看出正确答案是 C。
2. 课堂上，老师在黑板上布置了如图所示的题目作为课后作业，小虎同学不小心抄错了一道题，则他抄错的题目是()。
用平方差公式分解因式：
(1) $x^{2}-y^{2}$；
(2) $-x^{2}-y^{2}$；
(3) $-25n^{2}+16m^{2}$；
(4) $(m+n)^{2}-1$。
(num=第 2 题)
A. 第(1)道题
B. 第(2)道题
C. 第(3)道题
D. 第(4)道题
用平方差公式分解因式：
(1) $x^{2}-y^{2}$；
(2) $-x^{2}-y^{2}$；
(3) $-25n^{2}+16m^{2}$；
(4) $(m+n)^{2}-1$。
(num=第 2 题)
A. 第(1)道题
B. 第(2)道题
C. 第(3)道题
D. 第(4)道题
答案：B
解析：
平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，需满足两项且符号相反。
(1)$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，符合。
(2)$-x^2 - y^2=-(x^2 + y^2)$，两项符号相同，不能用平方差公式。
(3)$-25n^2 + 16m^2=16m^2 - 25n^2=(4m+5n)(4m-5n)$，符合。
(4)$(m+n)^2 - 1=(m+n+1)(m+n-1)$，符合。
抄错的是第(2)题。
(1)$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，符合。
(2)$-x^2 - y^2=-(x^2 + y^2)$，两项符号相同，不能用平方差公式。
(3)$-25n^2 + 16m^2=16m^2 - 25n^2=(4m+5n)(4m-5n)$，符合。
(4)$(m+n)^2 - 1=(m+n+1)(m+n-1)$，符合。
抄错的是第(2)题。
3. 计算 $65^{2}-35^{2}=$()。
A.3 000
B.100
C.1 100
D.110
A.3 000
B.100
C.1 100
D.110
答案：A
解析：
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，在$65^{2}-35^{2}$中，$a = 65$，$b = 35$，则$65^{2}-35^{2}=(65 + 35)(65 - 35)=100×30 = 3000$。
4. 如果一个数 $a=(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$，那么我们称这个数 $a$ 为“奇差数”。下列各数为“奇差数”的是()。
A.126
B.94
C.82
D.56
A.126
B.94
C.82
D.56
答案：D
解析：
$a=(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(4n)(2)=8n$，所以“奇差数”是8的倍数。选项中只有56是8的倍数，56=8×7。
5. 若 $a+b=2\ 025$，$a-b=1$，则 $(a+1)^{2}-(b-1)^{2}$ 的值为 。
答案：6075（若题目是填空题，按实际答案填写，这里按给出最终数值答案处理）
解析：
利用平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$，对$(a + 1)^{2}-(b - 1)^{2}$进行因式分解，这里$m=a + 1$，$n=b - 1$，则$(a + 1)^{2}-(b - 1)^{2}=[(a + 1)+(b - 1)][(a + 1)-(b - 1)]$。
去括号得$(a + 1 + b - 1)(a + 1 - b + 1)=(a + b)(a - b + 2)$。
已知$a + b = 2025$，$a - b = 1$，将其代入上式可得：$2025×(1 + 2)=2025×3 = 6075$。
去括号得$(a + 1 + b - 1)(a + 1 - b + 1)=(a + b)(a - b + 2)$。
已知$a + b = 2025$，$a - b = 1$，将其代入上式可得：$2025×(1 + 2)=2025×3 = 6075$。
6. 请你仔细阅读以下等式，并寻找规律。
①$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$；
②$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$；
③$x^{4}-1=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)$；
④$x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$；
……
运用你发现的规律解答下列问题：
(1) $x^{6}-1=(x-1)·$ ；
(2) $=(x-1)(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$；
(3) 以上各等式，从左到右的变形 (选填“是”或“不是”)因式分解；
(4) 将 $x^{4}-1$ 用平方差公式分解因式，其结果为 ，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将 $x^{3}+x^{2}+x+1$ 分解因式的结果为 。
①$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$；
②$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$；
③$x^{4}-1=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)$；
④$x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$；
……
运用你发现的规律解答下列问题：
(1) $x^{6}-1=(x-1)·$ ；
(2) $=(x-1)(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$；
(3) 以上各等式，从左到右的变形 (选填“是”或“不是”)因式分解；
(4) 将 $x^{4}-1$ 用平方差公式分解因式，其结果为 ，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将 $x^{3}+x^{2}+x+1$ 分解因式的结果为 。
答案：(1) $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
(2) $x^8 - 1$
(3) 是
(4) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$；$(x + 1)(x^2 + 1)$
(2) $x^8 - 1$
(3) 是
(4) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$；$(x + 1)(x^2 + 1)$
7. 若定义一种运算：$a△ b=a^{3}-b^{2}+ab+1$，如 $1△(-3)=1^{3}-(-3)^{2}+1×(-3)+1=1-9-3+1=-10$。
(1) 计算：$(-x)△(1-x)$；
(2) 将（1）中计算所得的多项式分解因式。
(1) 计算：$(-x)△(1-x)$；
(2) 将（1）中计算所得的多项式分解因式。
答案：(1)根据定义$a\Delta b=a^{3}-b^{2}+ab+1$，将$a=-x$和$b=1-x$代入可得：
$(-x)\Delta(1-x)$
$=(-x)^{3}-(1-x)^{2}+(-x)(1-x)+1$
$=-x^{3}-(1 - 2x+x^{2})-x + x^{2}+1$
$=-x^{3}-1 + 2x - x^{2}-x + x^{2}+1$
$=-x^{3}+x$
(2)对$-x^{3}+x$分解因式：
$-x^{3}+x$
$=-x(x^{2}-1)$
$=-x(x + 1)(x - 1)$
$(-x)\Delta(1-x)$
$=(-x)^{3}-(1-x)^{2}+(-x)(1-x)+1$
$=-x^{3}-(1 - 2x+x^{2})-x + x^{2}+1$
$=-x^{3}-1 + 2x - x^{2}-x + x^{2}+1$
$=-x^{3}+x$
(2)对$-x^{3}+x$分解因式：
$-x^{3}+x$
$=-x(x^{2}-1)$
$=-x(x + 1)(x - 1)$