【例 1】下列多项式是完全平方式的是()。
A.$4x-y^{2}$
B.$-9x^{2}-y^{2}$
C.$x^{2}+2xy+4y^{2}$
D.$x^{2}-8xy+16y^{2}$
答案 D
总结 应熟记完全平方式的结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍。
A.$4x-y^{2}$
B.$-9x^{2}-y^{2}$
C.$x^{2}+2xy+4y^{2}$
D.$x^{2}-8xy+16y^{2}$
答案 D
总结 应熟记完全平方式的结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍。
答案：D
解析：
完全平方式的结构为两数的平方和加上或减去它们积的2倍，即$a^2\pm2ab+b^2$。
选项A：$4x - y^2$，不是平方和形式，不符合。
选项B：$-9x^2 - y^2$，为负的平方和，不符合。
选项C：$x^2 + 2xy + 4y^2$，$4y^2=(2y)^2$，中间项应为$2· x·2y = 4xy$，而原式为$2xy$，不符合。
选项D：$x^2 - 8xy + 16y^2 = x^2 - 2· x·4y + (4y)^2$，符合完全平方式结构。
选项A：$4x - y^2$，不是平方和形式，不符合。
选项B：$-9x^2 - y^2$，为负的平方和，不符合。
选项C：$x^2 + 2xy + 4y^2$，$4y^2=(2y)^2$，中间项应为$2· x·2y = 4xy$，而原式为$2xy$，不符合。
选项D：$x^2 - 8xy + 16y^2 = x^2 - 2· x·4y + (4y)^2$，符合完全平方式结构。
· 跟踪练习1 下列多项式是完全平方式的是()。
A.$1+4x-4x^{2}$
B.$x^{2}-x+\frac{1}{4}$
C.$a^{2}+ab+b^{2}$
D.$x^{2}+2x-1$
A.$1+4x-4x^{2}$
B.$x^{2}-x+\frac{1}{4}$
C.$a^{2}+ab+b^{2}$
D.$x^{2}+2x-1$
答案：B
解析：
完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
选项A：$1 + 4x - 4x^2$，二次项系数为负，不符合完全平方式形式，不是。
选项B：$x^2 - x + \frac{1}{4}=x^2 - 2× x×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x - \frac{1}{2})^2$，是完全平方式。
选项C：$a^2 + ab + b^2$，中间项应为$2ab$，不是，不是完全平方式。
选项D：$x^2 + 2x - 1$，常数项为负，不符合，不是。
选项A：$1 + 4x - 4x^2$，二次项系数为负，不符合完全平方式形式，不是。
选项B：$x^2 - x + \frac{1}{4}=x^2 - 2× x×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x - \frac{1}{2})^2$，是完全平方式。
选项C：$a^2 + ab + b^2$，中间项应为$2ab$，不是，不是完全平方式。
选项D：$x^2 + 2x - 1$，常数项为负，不符合，不是。
【例 2】分解因式：$-x^{2}+4x-4=$ 。
答案 $-(x-2)^{2}$
总结 (1)应用完全平方公式分解因式时，若平方项符号与积的 2 倍项符号相同，则分解为两数和的平方；若平方项符号与积的 2 倍项符号相反，则分解为两数差的平方。
(2)若二次项系数为负，则需先提出负号，再应用公式分解因式。
答案 $-(x-2)^{2}$
总结 (1)应用完全平方公式分解因式时，若平方项符号与积的 2 倍项符号相同，则分解为两数和的平方；若平方项符号与积的 2 倍项符号相反，则分解为两数差的平方。
(2)若二次项系数为负，则需先提出负号，再应用公式分解因式。
答案：$-(x-2)^{2}$
解析：
原式：$-x^{2} + 4x - 4$
首先提取负号，得：$- (x^{2} - 4x + 4)$
观察括号内表达式，$x^{2} - 4x + 4$ 为完全平方公式形式，即：$x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}$
因此，原式可分解为：$- (x - 2)^{2}$
· 跟踪练习2 分解因式：$3a^{2}-12a+12=$ 。
答案：$3(a - 2)^{2}$
解析：
首先提取公因式$3$，得到$3(a^{2} - 4a + 4)$，再对括号内的式子利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a - b)^2$进行分解，其中$a=a$，$b = 2$，即$a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}$。
所以$3a^{2}-12a + 12=3(a - 2)^{2}$。
所以$3a^{2}-12a + 12=3(a - 2)^{2}$。
【例 3】已知 $a+b=3$，$ab=2$，则 $a^{3}b-2a^{2}b^{2}+ab^{3}$ 的值为()。
A.18
B.28
C.2
D.6
解析 因为 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab=(a+b)^{2}-4ab=3^{2}-4×2=1$，所以 $a^{3}b-2a^{2}b^{2}+ab^{3}=ab(a^{2}-2ab+b^{2})=ab(a-b)^{2}=2×1=2$。
答案 C
总结 综合运用因式分解法对要求的多项式进行变形，然后整体代入，求出代数式的值。
A.18
B.28
C.2
D.6
解析 因为 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab=(a+b)^{2}-4ab=3^{2}-4×2=1$，所以 $a^{3}b-2a^{2}b^{2}+ab^{3}=ab(a^{2}-2ab+b^{2})=ab(a-b)^{2}=2×1=2$。
答案 C
总结 综合运用因式分解法对要求的多项式进行变形，然后整体代入，求出代数式的值。
答案：C
解析：
首先对多项式 $a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$ 进行因式分解，有：
$a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3} = ab(a^{2} - 2ab + b^{2}) = ab(a - b)^{2}$
已知 $a + b = 3, ab = 2$，利用平方差公式求出 $(a - b)^{2}$：
$(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab = 3^{2} - 4 × 2 = 1$
将 $ab = 2$ 和 $(a - b)^{2} = 1$ 代入到 $ab(a - b)^{2}$ 中，有：
$a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3} = ab(a - b)^{2} = 2 × 1 = 2$
· 跟踪练习3 若 $y-x=-2$，$xy=4$，则 $-\frac{1}{2}x^{3}y+x^{2}y^{2}-\frac{1}{2}xy^{3}$ 的值是 。
答案：-8
解析：
原式提取公因式$-\frac{1}{2}xy$得：$-\frac{1}{2}xy(x^{2}-2xy+y^{2})$，括号内利用完全平方公式分解为$(x - y)^{2}$，即原式$=-\frac{1}{2}xy(x - y)^{2}$。由$y - x=-2$得$x - y=2$，将$xy=4$，$x - y=2$代入得：$-\frac{1}{2}×4×2^{2}=-8$。
1. 有下列多项式：①$x^{2}-10x+25$；②$-4a^{2}+4a-1$；③$x^{2}-2x-1$；④$-m^{2}+m-\frac{1}{4}$；⑤$4x^{4}-x^{2}+\frac{1}{4}$。
其中不能用完全平方公式分解因式的个数为()。
A.0
B.1
C.2
D.3
其中不能用完全平方公式分解因式的个数为()。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：
①$x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$，可用完全平方公式；②$-4a^{2}+4a-1=-(2a-1)^{2}$，可用完全平方公式；③$x^{2}-2x-1$，平方项符号不同且中间项不满足条件，不可用；④$-m^{2}+m-\frac{1}{4}=-(m-\frac{1}{2})^{2}$，可用完全平方公式；⑤$4x^{4}-x^{2}+\frac{1}{4}$，中间项不是两平方项底数乘积的2倍，不可用。不能用的有③⑤，共2个。