2. 把多项式 $16x^{2}-24x+9$ 分解因式的结果是()。
A.$(4x-3)^{2}$
B.$(16x-3)^{2}$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$
A.$(4x-3)^{2}$
B.$(16x-3)^{2}$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$
答案：A
解析：
对于多项式$16x^{2}-24x+9$，考虑完全平方公式$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$，
这里$a = 4x$，$b = 3$，因为$(4x)^{2}=16x^{2}$，$3^{2}=9$，$2×4x×3 = 24x$，
所以$16x^{2}-24x + 9=(4x - 3)^{2}$。
这里$a = 4x$，$b = 3$，因为$(4x)^{2}=16x^{2}$，$3^{2}=9$，$2×4x×3 = 24x$，
所以$16x^{2}-24x + 9=(4x - 3)^{2}$。
3. 多项式 $x^{2}-2x+1$ 与多项式 $(x-1)·(x+1)$ 的公因式是()。
A.$x+1$
B.$x-1$
C.$x^{2}+1$
D.$x^{2}$
A.$x+1$
B.$x-1$
C.$x^{2}+1$
D.$x^{2}$
答案：B
解析：
首先，对多项式$x^{2} - 2x + 1$进行因式分解，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a - b)^2$，可得$x^{2} - 2x + 1=(x - 1)^2$。
而多项式$(x - 1)·(x + 1)$已经分解为两个因式$(x - 1)$与$(x + 1)$的乘积。
通过对比两个多项式分解后的因式，可知它们的公因式是$x - 1$。
而多项式$(x - 1)·(x + 1)$已经分解为两个因式$(x - 1)$与$(x + 1)$的乘积。
通过对比两个多项式分解后的因式，可知它们的公因式是$x - 1$。
4. 在将多项式分解因式时，我们经常用到“整体思想”，将 $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-8)+16$ 分解因式的结果是()。
A.$(x-y)^{4}$
B.$(x^{2}+y^{2}-4)^{2}$
C.$(x^{2}-y^{2}-4)^{2}$
D.$(x^{2}+y^{2}+4)^{2}$
A.$(x-y)^{4}$
B.$(x^{2}+y^{2}-4)^{2}$
C.$(x^{2}-y^{2}-4)^{2}$
D.$(x^{2}+y^{2}+4)^{2}$
答案：B
解析：
设$x^{2}+y^{2}=m$，则原式可化为$m(m - 8)+16$，即$m^{2}-8m + 16$。
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，其中$a = m$，$b = 4$，可得$m^{2}-8m + 16=(m - 4)^{2}$。
把$m=x^{2}+y^{2}$代回$(m - 4)^{2}$，得到$(x^{2}+y^{2}-4)^{2}$。
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，其中$a = m$，$b = 4$，可得$m^{2}-8m + 16=(m - 4)^{2}$。
把$m=x^{2}+y^{2}$代回$(m - 4)^{2}$，得到$(x^{2}+y^{2}-4)^{2}$。
5. 如图，小颖利用两种不同的方法计算此图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是()。
A.$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)(a+b)$
B.$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
C.$a^{2}+3ab+2b^{2}=(a+2b)(a+b)$
D.$2a^{2}+3ab+b^{2}=(2a+b)(a+b)$
A.$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)(a+b)$
B.$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
C.$a^{2}+3ab+2b^{2}=(a+2b)(a+b)$
D.$2a^{2}+3ab+b^{2}=(2a+b)(a+b)$
答案：C
解析：
首先，计算图形的总面积。
图形可以看作一个长为 $a+2b$，宽为 $a+b$ 的大长方形，其面积为：
$(a+2b)(a+b)$，
另外，图形也可以看作由一个边长为 $a$ 的正方形，三个长为 $a$，宽为 $b$ 的小长方形和两个边长为 $b$ 的正方形组成，其面积为：
$a^2+3ab+2b^2$，
由于两种方法计算的是同一个图形的面积，所以有：
$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$。
图形可以看作一个长为 $a+2b$，宽为 $a+b$ 的大长方形，其面积为：
$(a+2b)(a+b)$，
另外，图形也可以看作由一个边长为 $a$ 的正方形，三个长为 $a$，宽为 $b$ 的小长方形和两个边长为 $b$ 的正方形组成，其面积为：
$a^2+3ab+2b^2$，
由于两种方法计算的是同一个图形的面积，所以有：
$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$。
6. 分解因式：
(1) $-2x^{3}+4x^{2}y-2xy^{2}$；
(2) $9a^{2}(x-y)+4b^{2}(y-x)$。
(1) $-2x^{3}+4x^{2}y-2xy^{2}$；
(2) $9a^{2}(x-y)+4b^{2}(y-x)$。
答案：(1)
解：原式$= - 2x(x^{2} - 2xy + y^{2})$
$ = - 2x(x - y)^{2}$
(2)
解：原式$= 9a^{2}(x - y) - 4b^{2}(x - y)$
$ = (x - y)(9a^{2} - 4b^{2})$
$ = (x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
解：原式$= - 2x(x^{2} - 2xy + y^{2})$
$ = - 2x(x - y)^{2}$
(2)
解：原式$= 9a^{2}(x - y) - 4b^{2}(x - y)$
$ = (x - y)(9a^{2} - 4b^{2})$
$ = (x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
7. 无论 $a$，$b$ 为任何实数，代数式 $a^{2}+b^{2}-4a+6b+13$ 的值总是()。
A.0
B.正数
C.非负数
D.非正数
A.0
B.正数
C.非负数
D.非正数
答案：C
解析：
将代数式$a^{2}+b^{2}-4a+6b+13$进行配方整理，有：
$a^{2}-4a+4+b^{2}+6b+9=(a-2)^{2}+(b+3)^{2}$。
由于平方数的性质，$(a-2)^{2}≥0$，$(b+3)^{2}≥0$，
所以$(a-2)^{2}+(b+3)^{2}≥0$。
因此，代数式的值总是非负数。
8. 下面是琪琪同学对多项式 $(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$ 进行因式分解的过程。
解：设 $x^{2}-4x=y$，则
原式 $=(y+2)(y+6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y+16$(第二步)
$=(y+4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$。(第四步)
(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的 。
A. 提公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2) 该同学分解因式的结果是否彻底？(填“彻底”或“不彻底”)。若不彻底，因式分解的最后结果为 。
(3) 请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1$ 进行因式分解。
解：设 $x^{2}-4x=y$，则
原式 $=(y+2)(y+6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y+16$(第二步)
$=(y+4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$。(第四步)
(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的 。
A. 提公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2) 该同学分解因式的结果是否彻底？(填“彻底”或“不彻底”)。若不彻底，因式分解的最后结果为 。
(3) 请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1$ 进行因式分解。
答案：(1)
C
(2)
不彻底；$(x - 2)^4$
(3)
设$x^{2}+2x=y$，
则原式$=y(y + 2)+1$
$=y^{2}+2y + 1$
$=(y + 1)^{2}$
$=(x^{2}+2x+1)^{2}$
$=(x + 1)^4$
C
(2)
不彻底；$(x - 2)^4$
(3)
设$x^{2}+2x=y$，
则原式$=y(y + 2)+1$
$=y^{2}+2y + 1$
$=(y + 1)^{2}$
$=(x^{2}+2x+1)^{2}$
$=(x + 1)^4$