· 跟踪练习1 计算：
(1) $(x-4) · \frac{16-x^{2}}{x^{2}-8x+16}$；
(2) $\frac{2m+8}{m^{2}-4m+4} · (m^{2}-4) · \frac{2m-4}{m^{2}-16}$。
(1) $(x-4) · \frac{16-x^{2}}{x^{2}-8x+16}$；
(2) $\frac{2m+8}{m^{2}-4m+4} · (m^{2}-4) · \frac{2m-4}{m^{2}-16}$。
答案：(1)
首先对分子分母进行因式分解：
$16 - x^{2} = (4 + x)(4 - x)$，
$x^{2} - 8x + 16 = (x - 4)^{2}$，
将原式代入并化简：
$(x - 4) · \frac{16 - x^{2}}{x^{2} - 8x + 16}$
$ = (x - 4) · \frac{(4 + x)(4 - x)}{(x - 4)^{2}}$
$ = (x - 4) · \frac{(4 + x)(4 - x)}{(x - 4)(x - 4)}$
$ = - (4 + x)$
$ = - x - 4$
(2)
首先对各个多项式的分子分母进行因式分解：
$2m + 8 = 2(m + 4)$，
$m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2}$，
$m^{2} - 4 = (m + 2)(m - 2)$，
$2m - 4 = 2(m - 2)$，
$m^{2} - 16 = (m + 4)(m - 4)$，
将原式代入并化简：
$\frac{2m + 8}{m^{2} - 4m + 4} · (m^{2} - 4) · \frac{2m - 4}{m^{2} - 16}$
$ = \frac{2(m + 4)}{(m - 2)^{2}} · (m + 2)(m - 2) · \frac{2(m - 2)}{(m + 4)(m - 4)}$
$ = \frac{2(m + 4) · (m + 2)(m - 2) · 2(m - 2)}{(m - 2)^{2} · (m + 4)(m - 4)}$
$ = \frac{4(m + 2)}{m - 4}$
首先对分子分母进行因式分解：
$16 - x^{2} = (4 + x)(4 - x)$，
$x^{2} - 8x + 16 = (x - 4)^{2}$，
将原式代入并化简：
$(x - 4) · \frac{16 - x^{2}}{x^{2} - 8x + 16}$
$ = (x - 4) · \frac{(4 + x)(4 - x)}{(x - 4)^{2}}$
$ = (x - 4) · \frac{(4 + x)(4 - x)}{(x - 4)(x - 4)}$
$ = - (4 + x)$
$ = - x - 4$
(2)
首先对各个多项式的分子分母进行因式分解：
$2m + 8 = 2(m + 4)$，
$m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2}$，
$m^{2} - 4 = (m + 2)(m - 2)$，
$2m - 4 = 2(m - 2)$，
$m^{2} - 16 = (m + 4)(m - 4)$，
将原式代入并化简：
$\frac{2m + 8}{m^{2} - 4m + 4} · (m^{2} - 4) · \frac{2m - 4}{m^{2} - 16}$
$ = \frac{2(m + 4)}{(m - 2)^{2}} · (m + 2)(m - 2) · \frac{2(m - 2)}{(m + 4)(m - 4)}$
$ = \frac{2(m + 4) · (m + 2)(m - 2) · 2(m - 2)}{(m - 2)^{2} · (m + 4)(m - 4)}$
$ = \frac{4(m + 2)}{m - 4}$
【例 2】计算：
(1) $\frac{a^{2}b}{3cd} ÷ \frac{-2ay}{6cd}$；
(2) $\frac{a-2}{a+3} ÷ \frac{a^{2}-4}{a^{2}+6a+9}$。
解 (1) 原式 $= -\frac{a^{2}b}{3cd} · \frac{6cd}{2ay} = -\frac{6a^{2}bcd}{6acdy} = -\frac{ab}{y}$；
(2) 原式 $= \frac{a-2}{a+3} · \frac{(a+3)^{2}}{(a+2)(a-2)} = \frac{(a-2)(a+3)^{2}}{(a+3)(a+2)(a-2)} = \frac{a+3}{a+2}$。
总结 分式的除法，实质上是把除法变为乘法，利用乘法法则进行计算。
(1) $\frac{a^{2}b}{3cd} ÷ \frac{-2ay}{6cd}$；
(2) $\frac{a-2}{a+3} ÷ \frac{a^{2}-4}{a^{2}+6a+9}$。
解 (1) 原式 $= -\frac{a^{2}b}{3cd} · \frac{6cd}{2ay} = -\frac{6a^{2}bcd}{6acdy} = -\frac{ab}{y}$；
(2) 原式 $= \frac{a-2}{a+3} · \frac{(a+3)^{2}}{(a+2)(a-2)} = \frac{(a-2)(a+3)^{2}}{(a+3)(a+2)(a-2)} = \frac{a+3}{a+2}$。
总结 分式的除法，实质上是把除法变为乘法，利用乘法法则进行计算。
答案：(1)
原式$=\frac{a^{2}b}{3cd}÷\frac{-2ay}{6cd}$
$=\frac{a^{2}b}{3cd}×\frac{6cd}{-2ay}$
$=\frac{a^{2}b×6cd}{3cd×(-2ay)}$
$=\frac{6a^{2}bcd}{-6acdy}$
$=-\frac{ab}{y}$
(2)
原式$=\frac{a - 2}{a + 3}÷\frac{a^{2}-4}{a^{2}+6a + 9}$
$=\frac{a - 2}{a + 3}×\frac{(a + 3)^{2}}{(a + 2)(a - 2)}$
$=\frac{(a - 2)(a + 3)^{2}}{(a + 3)(a + 2)(a - 2)}$
$=\frac{a + 3}{a + 2}$
原式$=\frac{a^{2}b}{3cd}÷\frac{-2ay}{6cd}$
$=\frac{a^{2}b}{3cd}×\frac{6cd}{-2ay}$
$=\frac{a^{2}b×6cd}{3cd×(-2ay)}$
$=\frac{6a^{2}bcd}{-6acdy}$
$=-\frac{ab}{y}$
(2)
原式$=\frac{a - 2}{a + 3}÷\frac{a^{2}-4}{a^{2}+6a + 9}$
$=\frac{a - 2}{a + 3}×\frac{(a + 3)^{2}}{(a + 2)(a - 2)}$
$=\frac{(a - 2)(a + 3)^{2}}{(a + 3)(a + 2)(a - 2)}$
$=\frac{a + 3}{a + 2}$
· 跟踪练习2 计算：
(1) $-\frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}$；
(2) $(xy-x^{2}) ÷ \frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{xy} ÷ \frac{x^{2}}{x-y}$。
(1) $-\frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}$；
(2) $(xy-x^{2}) ÷ \frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{xy} ÷ \frac{x^{2}}{x-y}$。
答案：(1) $-\frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}$
$=-\frac{x-1}{x} × \frac{x^{2}+2x}{x^{2}-1}$
$=-\frac{x-1}{x} × \frac{x(x+2)}{(x-1)(x+1)}$
$=-\frac{x+2}{x+1}$
(2) $(xy-x^{2}) ÷ \frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{xy} ÷ \frac{x^{2}}{x-y}$
$=-x(x-y) × \frac{xy}{(x-y)^{2}} × \frac{x-y}{x^{2}}$
$=-x(x-y) × \frac{xy(x-y)}{(x-y)^{2}x^{2}}$
$=-y$
$=-\frac{x-1}{x} × \frac{x^{2}+2x}{x^{2}-1}$
$=-\frac{x-1}{x} × \frac{x(x+2)}{(x-1)(x+1)}$
$=-\frac{x+2}{x+1}$
(2) $(xy-x^{2}) ÷ \frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{xy} ÷ \frac{x^{2}}{x-y}$
$=-x(x-y) × \frac{xy}{(x-y)^{2}} × \frac{x-y}{x^{2}}$
$=-x(x-y) × \frac{xy(x-y)}{(x-y)^{2}x^{2}}$
$=-y$
1. 计算：① $\frac{a}{y} · \frac{x}{b}$；② $\frac{n}{m} · \frac{2m}{n}$；③ $\frac{4}{x} ÷ \frac{2}{x}$；④ $\frac{a}{b^{2}} ÷ \frac{2a^{2}}{b^{2}}$。结果是分式的是()。
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
答案：C
解析：
① $\frac{a}{y} · \frac{x}{b} = \frac{a · x}{y · b} = \frac{ax}{by}$，结果为分式。
② $\frac{n}{m} · \frac{2m}{n} = \frac{n · 2m}{m · n} = 2$，结果为整数，不是分式。
③ $\frac{4}{x} ÷ \frac{2}{x} = \frac{4}{x} · \frac{x}{2} = \frac{4 · x}{x · 2} = \frac{4x}{2x} = 2$，结果为整数，不是分式。
④ $\frac{a}{b^{2}} ÷ \frac{2a^{2}}{b^{2}} = \frac{a}{b^{2}} · \frac{b^{2}}{2a^{2}} = \frac{a · b^{2}}{b^{2} · 2a^{2}} = \frac{1}{2a}$，结果为分式。
结果是分式的是①④。
② $\frac{n}{m} · \frac{2m}{n} = \frac{n · 2m}{m · n} = 2$，结果为整数，不是分式。
③ $\frac{4}{x} ÷ \frac{2}{x} = \frac{4}{x} · \frac{x}{2} = \frac{4 · x}{x · 2} = \frac{4x}{2x} = 2$，结果为整数，不是分式。
④ $\frac{a}{b^{2}} ÷ \frac{2a^{2}}{b^{2}} = \frac{a}{b^{2}} · \frac{b^{2}}{2a^{2}} = \frac{a · b^{2}}{b^{2} · 2a^{2}} = \frac{1}{2a}$，结果为分式。
结果是分式的是①④。
2. 计算 $\frac{a+9}{2a+6} · \frac{a+3}{a+9}$ 的结果为()。
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.$-2$
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.$-2$
答案：B
解析：
原式=$\frac{a+9}{2(a+3)} · \frac{a+3}{a+9}$
=$\frac{(a+9)(a+3)}{2(a+3)(a+9)}$
=$\frac{1}{2}$
=$\frac{(a+9)(a+3)}{2(a+3)(a+9)}$
=$\frac{1}{2}$
3. 若计算 $\frac{x^{2}+1}{x-6} ÷ \frac{x^{3}+x}{□}$ 的结果为整式，则 “□” 中的式子可能是()。
A.$x-6$
B.$x^{2}-6$
C.$\frac{1}{x^{2}-6}$
D.$x^{2}-6x$
A.$x-6$
B.$x^{2}-6$
C.$\frac{1}{x^{2}-6}$
D.$x^{2}-6x$
答案：D
解析：
原式可转化为$\frac{x^{2}+1}{x - 6} × \frac{□}{x^{3}+x}$，因式分解$x^{3}+x=x(x^{2}+1)$，约分得$\frac{□}{x(x - 6)}$。结果为整式，则$□$需为$x(x - 6)$的倍数。选项D中$x^{2}-6x=x(x - 6)$，代入得$\frac{x(x - 6)}{x(x - 6)}=1$，为整式。