3. 如图，P处在A处的北偏东$62°$方向，在B处的北偏东$18°$方向(B处在A处的正东方向)，则从P处看A，B两处的视角$∠ APB=$().
A.$18°$
B.$26°$
C.$44°$
D.$62°$
A.$18°$
B.$26°$
C.$44°$
D.$62°$
答案：C
解析：
过A作正北方向射线AM，过B作正北方向射线BN，AM//BN。由题意得∠MAP=62°，∠NBP=18°。过P作PQ//AM//BN，则∠APQ=∠MAP=62°（内错角相等），∠BPQ=∠NBP=18°（内错角相等）。故∠APB=∠APQ - ∠BPQ=62° - 18°=44°。
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B+∠ C=110°$，AM平分$∠ BAC$，交$BC$于点$M$，$MN//AB$，交$AC$于点$N$，则$∠ AMN=$().
A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$30°$
A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$30°$
答案：C
解析：
在$△ABC$中，内角和为$180°$。
已知$∠B + ∠C = 110°$，
因此$∠BAC = 180° - 110° = 70°$。
由于$AM$平分$∠BAC$，
所以$∠BAM = ∠CAM = \frac{70°}{2} = 35°$。
$MN // AB$，
根据平行线的性质，内错角相等，
所以$∠AMN = ∠BAM = 35°$。
因此，$∠AMN = 35°$。
已知$∠B + ∠C = 110°$，
因此$∠BAC = 180° - 110° = 70°$。
由于$AM$平分$∠BAC$，
所以$∠BAM = ∠CAM = \frac{70°}{2} = 35°$。
$MN // AB$，
根据平行线的性质，内错角相等，
所以$∠AMN = ∠BAM = 35°$。
因此，$∠AMN = 35°$。
5. 在$△ ABC$中，$∠ C-∠ B=36°$，$∠ A=2∠ B$. 求$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的度数.
答案：解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=x+36°。
因为三角形内角和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，
即2x + x + (x + 36°) = 180°，
4x + 36° = 180°，
4x = 144°，
x = 36°。
所以∠B=36°，∠A=2x=72°，∠C=x+36°=72°。
∠A=72°，∠B=36°，∠C=72°。
因为三角形内角和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，
即2x + x + (x + 36°) = 180°，
4x + 36° = 180°，
4x = 144°，
x = 36°。
所以∠B=36°，∠A=2x=72°，∠C=x+36°=72°。
∠A=72°，∠B=36°，∠C=72°。
6. 如图，已知直线$l_1//l_2$，且$l_3$和$l_1$，$l_2$分别相交于$A$，$B$两点，$l_4$和$l_1$，$l_2$分别相交于$C$，$D$两点，点$P$在线段$AB$上. 若$∠ 1=25°$，$∠ 2=35°$，则$∠ 3=$.
答案：60°
解析：
过点P作PE//l₁，因为l₁//l₂，所以PE//l₂。
因为PE//l₁，所以∠CPE=∠1=25°（两直线平行，内错角相等）。
因为PE//l₂，所以∠DPE=∠2=35°（两直线平行，内错角相等）。
所以∠3=∠CPE+∠DPE=25°+35°=60°。
因为PE//l₁，所以∠CPE=∠1=25°（两直线平行，内错角相等）。
因为PE//l₂，所以∠DPE=∠2=35°（两直线平行，内错角相等）。
所以∠3=∠CPE+∠DPE=25°+35°=60°。
7. 如图，把$△ ABC$沿$EF$折叠，使点$A$落在点$D$处.
(1)若$∠ B+∠ C=130°$，则$∠ α+∠ β=$；
(2)若$DE//AC$，试判断$∠ α$与$∠ β$的数量关系，并说明理由.
(1)若$∠ B+∠ C=130°$，则$∠ α+∠ β=$；
(2)若$DE//AC$，试判断$∠ α$与$∠ β$的数量关系，并说明理由.
答案：(1)100°；(2)∠α=∠β。
解析：
(1) 在△ABC中，∠A=180°-(∠B+∠C)=180°-130°=50°。折叠后∠EDF=∠A=50°。在四边形AEDF中，∠AED+∠AFD=360°-∠A-∠EDF=360°-50°-50°=260°。因为∠α=180°-∠AED，∠β=180°-∠AFD，所以∠α+∠β=360°-(∠AED+∠AFD)=360°-260°=100°。
(2) ∠α=∠β。理由：因为DE//AC，所以∠EDF=∠DFC（两直线平行，内错角相等），∠AED+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）。由折叠知∠EDF=∠A，故∠DFC=∠A，即∠β=∠A。又∠α=180°-∠AED=∠A，所以∠α=∠β。
(2) ∠α=∠β。理由：因为DE//AC，所以∠EDF=∠DFC（两直线平行，内错角相等），∠AED+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）。由折叠知∠EDF=∠A，故∠DFC=∠A，即∠β=∠A。又∠α=180°-∠AED=∠A，所以∠α=∠β。
8. （新定义）当三角形中一个内角$α$是另一个内角$β$的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中$α$被称为“特征角”.
（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为$80°$，求这个“特征三角形”的最小内角的度数.
（2）是否存在“特征角”为$120°$的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.
（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为$80°$，求这个“特征三角形”的最小内角的度数.
（2）是否存在“特征角”为$120°$的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.
答案：（1）
根据新定义，特征角$α=80^{\circ}$，则$β = 80^{\circ}÷2 = 40^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，第三个角$\gamma=180^{\circ}-α - β=180^{\circ}-80^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$40^{\circ}＜60^{\circ}＜80^{\circ}$，所以这个“特征三角形”的最小内角的度数为$40^{\circ}$。
（2）
假设存在“特征角”为$120^{\circ}$的“特征三角形”，则$β=120^{\circ}÷2 = 60^{\circ}$。
那么第三个角$\gamma=180^{\circ}-α - β=180^{\circ}-120^{\circ}-60^{\circ}=0^{\circ}$。
由于三角形内角不能为$0^{\circ}$，所以不存在“特征角”为$120^{\circ}$的“特征三角形”。
根据新定义，特征角$α=80^{\circ}$，则$β = 80^{\circ}÷2 = 40^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，第三个角$\gamma=180^{\circ}-α - β=180^{\circ}-80^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$40^{\circ}＜60^{\circ}＜80^{\circ}$，所以这个“特征三角形”的最小内角的度数为$40^{\circ}$。
（2）
假设存在“特征角”为$120^{\circ}$的“特征三角形”，则$β=120^{\circ}÷2 = 60^{\circ}$。
那么第三个角$\gamma=180^{\circ}-α - β=180^{\circ}-120^{\circ}-60^{\circ}=0^{\circ}$。
由于三角形内角不能为$0^{\circ}$，所以不存在“特征角”为$120^{\circ}$的“特征三角形”。