【例1】如图13.3-6，$AB//DF$，$AC⊥ BC$，垂足为$C$，$CB$的延长线与$DF$相交于点$E$. 若$∠ A=20°$，则$∠ CEF=$().
A.$70°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
解析 因为$AC⊥ BC$，所以$△ ABC$是直角三角形，所以$∠ ABC=90°-∠ A=90°-20°=70°$. 所以$∠ 1=∠ ABC=70°$. 因为$AB//DF$，所以$∠ 1+∠ CEF=180°$. 所以$∠ CEF=180°-∠ 1=180°-70°=110°$.
答案 D
总结 熟知直角三角形两个锐角互余的性质，并准确识图是解决此类问题的关键.
A.$70°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
解析 因为$AC⊥ BC$，所以$△ ABC$是直角三角形，所以$∠ ABC=90°-∠ A=90°-20°=70°$. 所以$∠ 1=∠ ABC=70°$. 因为$AB//DF$，所以$∠ 1+∠ CEF=180°$. 所以$∠ CEF=180°-∠ 1=180°-70°=110°$.
答案 D
总结 熟知直角三角形两个锐角互余的性质，并准确识图是解决此类问题的关键.
答案：D
解析：
因为$AC⊥BC$，所以$∠ACB=90°$。在$△ABC$中，$∠A=20°$，则$∠ABC=90° - ∠A=70°$。$∠1$与$∠ABC$是对顶角，所以$∠1=∠ABC=70°$。因为$AB// DF$，所以$∠1 + ∠CEF=180°$，故$∠CEF=180° - 70°=110°$。
· 跟踪练习1 如图13.3-7，$CD$是$△ ABC$的高，$∠ ACB=90°$. 若$∠ A=35°$，则$∠ BCD=$().
A.$25°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
A.$25°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案：B
解析：
由于 $ ∠ ACB = 90° $，且 $ ∠ A = 35° $，
所以在 $ △ ABC $ 中，内角和为 $ 180° $，
因此$ ∠ B = 180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 35° = 55° $。
由于 $ CD $ 是 $ △ ABC $ 的高，
所以$ ∠ CDB = 90° $，
在 $ △ CDB $ 中，内角和为 $ 180° $，
因此$ ∠ BCD = 180° - ∠ CDB - ∠ B = 180° - 90° - 55° = 35° $。
所以，$ ∠ BCD = 35° $。
所以在 $ △ ABC $ 中，内角和为 $ 180° $，
因此$ ∠ B = 180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 35° = 55° $。
由于 $ CD $ 是 $ △ ABC $ 的高，
所以$ ∠ CDB = 90° $，
在 $ △ CDB $ 中，内角和为 $ 180° $，
因此$ ∠ BCD = 180° - ∠ CDB - ∠ B = 180° - 90° - 55° = 35° $。
所以，$ ∠ BCD = 35° $。
【例2】在下列条件中，不能判定$△ ABC$是直角三角形的是().
A. $∠ A=∠ B-∠ C$
B. $∠ A=90°-∠ C$
C. $∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$
D. $∠ A=2∠ B=3∠ C$
解析 A. 因为$∠ A=∠ B-∠ C$，所以$∠ A+∠ C=∠ B$. 又因为$∠ A+∠ C+∠ B=180°$，所以$2∠ B=180°$. 所以$∠ B=90°$. 所以$△ ABC$是直角三角形.
B. 因为$∠ A=90°-∠ C$，所以$∠ A+∠ C=90°$. 所以$∠ B=90°$. 所以$△ ABC$是直角三角形.
C. 因为$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$，所以设$∠ A=∠ B=x$，则$∠ C=2x$. 因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，所以$x+x+2x=180°$. 解得$x=45°$. 所以$∠ C=2x=90°$. 所以$△ ABC$是直角三角形.
D. 因为$∠ A=2∠ B=3∠ C$，所以设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{1}{2}x$，$∠ C=\frac{1}{3}x$. 因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，所以$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x=180°$. 解得$x=(\frac{1080}{11})°＞90°$. 所以$△ ABC$不是直角三角形.
答案 D
总结 由三角形的内角和定理可知，如果一个三角形中有两个角的和等于$90°$，那么该三角形为直角三角形.
A. $∠ A=∠ B-∠ C$
B. $∠ A=90°-∠ C$
C. $∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$
D. $∠ A=2∠ B=3∠ C$
解析 A. 因为$∠ A=∠ B-∠ C$，所以$∠ A+∠ C=∠ B$. 又因为$∠ A+∠ C+∠ B=180°$，所以$2∠ B=180°$. 所以$∠ B=90°$. 所以$△ ABC$是直角三角形.
B. 因为$∠ A=90°-∠ C$，所以$∠ A+∠ C=90°$. 所以$∠ B=90°$. 所以$△ ABC$是直角三角形.
C. 因为$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$，所以设$∠ A=∠ B=x$，则$∠ C=2x$. 因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，所以$x+x+2x=180°$. 解得$x=45°$. 所以$∠ C=2x=90°$. 所以$△ ABC$是直角三角形.
D. 因为$∠ A=2∠ B=3∠ C$，所以设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{1}{2}x$，$∠ C=\frac{1}{3}x$. 因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，所以$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x=180°$. 解得$x=(\frac{1080}{11})°＞90°$. 所以$△ ABC$不是直角三角形.
答案 D
总结 由三角形的内角和定理可知，如果一个三角形中有两个角的和等于$90°$，那么该三角形为直角三角形.
答案：答题卡作答：
选项分析：
A.
$\because ∠ A = ∠ B - ∠ C$，
$\therefore ∠ A + ∠ C = ∠ B$，
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore 2∠ B = 180°$，
$\therefore ∠ B = 90°$，能判定$\bigtriangleup ABC$为直角三角形，不符合题意。
B.
$\because ∠ A=90° - ∠ C$，
$\therefore ∠ A + ∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ B = 90°$，能判定$\bigtriangleup ABC$为直角三角形，不符合题意。
C.
设$∠ A = ∠ B = x$，则$∠ C = 2x$，
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore x + x + 2x = 180°$，
$\therefore x = 45°$，$∠ C = 90°$，能判定$\bigtriangleup ABC$为直角三角形，不符合题意。
D.
设$∠ A = x$，则$∠ B = \frac{1}{2}x$，$∠ C = \frac{1}{3}x$，
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 180°$，
$\therefore x = \frac{1080}{11} ＞ 90$，$\bigtriangleup ABC$不是直角三角形，符合题意。
故答案为D。
选项分析：
A.
$\because ∠ A = ∠ B - ∠ C$，
$\therefore ∠ A + ∠ C = ∠ B$，
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore 2∠ B = 180°$，
$\therefore ∠ B = 90°$，能判定$\bigtriangleup ABC$为直角三角形，不符合题意。
B.
$\because ∠ A=90° - ∠ C$，
$\therefore ∠ A + ∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ B = 90°$，能判定$\bigtriangleup ABC$为直角三角形，不符合题意。
C.
设$∠ A = ∠ B = x$，则$∠ C = 2x$，
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore x + x + 2x = 180°$，
$\therefore x = 45°$，$∠ C = 90°$，能判定$\bigtriangleup ABC$为直角三角形，不符合题意。
D.
设$∠ A = x$，则$∠ B = \frac{1}{2}x$，$∠ C = \frac{1}{3}x$，
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 180°$，
$\therefore x = \frac{1080}{11} ＞ 90$，$\bigtriangleup ABC$不是直角三角形，符合题意。
故答案为D。