1. 若$(□-1)·\frac{1}{5-a}=\frac{1}{a-4}$，则“$□$”代表的是()。
A.$\frac{1}{4-a}$
B.$\frac{1}{a-4}$
C.$\frac{9-2a}{a-4}$
D.$\frac{2a-9}{a-4}$
A.$\frac{1}{4-a}$
B.$\frac{1}{a-4}$
C.$\frac{9-2a}{a-4}$
D.$\frac{2a-9}{a-4}$
答案：B
解析：
设“□”代表的代数式为$x$，则原方程为$(x - 1)·\frac{1}{5 - a} = \frac{1}{a - 4}$。两边同乘$5 - a$，得$x - 1 = \frac{5 - a}{a - 4}$。移项得$x = 1 + \frac{5 - a}{a - 4}$，通分计算：$x = \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{5 - a}{a - 4} = \frac{(a - 4) + (5 - a)}{a - 4} = \frac{1}{a - 4}$。
2. 数学课上，甲、乙、丙、丁四名同学进行分式接力计算。
化简：$(1-\frac{3x-2}{x+2})÷\frac{x^{2}-4x+4}{2x+4}$。
原式$=\frac{x+2-(3x-2)}{x+2}÷\frac{x^{2}-4x+4}{2x+4}$
(甲同学)
$=\frac{x+2-3x-2}{x+2}·\frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$(乙同学)
$=\frac{-2x}{x+2}·\frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$(丙同学)
$=\frac{-4x}{(x-2)^{2}}$。(丁同学)
从()同学开始出现错误。
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
化简：$(1-\frac{3x-2}{x+2})÷\frac{x^{2}-4x+4}{2x+4}$。
原式$=\frac{x+2-(3x-2)}{x+2}÷\frac{x^{2}-4x+4}{2x+4}$
(甲同学)
$=\frac{x+2-3x-2}{x+2}·\frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$(乙同学)
$=\frac{-2x}{x+2}·\frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$(丙同学)
$=\frac{-4x}{(x-2)^{2}}$。(丁同学)
从()同学开始出现错误。
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案：B
解析：
原式$=(1-\frac{3x-2}{x+2})÷\frac{x^{2}-4x+4}{2x+4}$
$=\frac{x+2-(3x-2)}{x+2}÷\frac{x^{2}-4x+4}{2x+4}$（甲同学正确）
$=\frac{x+2-3x+2}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$（乙同学错误，去括号变号错误）
$=\frac{-2x+4}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$（正确去括号应为$x+2-3x+2$）
$=\frac{4-2x}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$
$=\frac{2(2-x)}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$
$=\frac{2(2-x)}{x-2}· \frac{2}{x-2}$
$=\frac{-4}{x-2}$（最终结果与后续同学计算均不符，判断乙同学开始出错）
从乙同学开始出现错误。
$=\frac{x+2-(3x-2)}{x+2}÷\frac{x^{2}-4x+4}{2x+4}$（甲同学正确）
$=\frac{x+2-3x+2}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$（乙同学错误，去括号变号错误）
$=\frac{-2x+4}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$（正确去括号应为$x+2-3x+2$）
$=\frac{4-2x}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$
$=\frac{2(2-x)}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-2)^{2}}$
$=\frac{2(2-x)}{x-2}· \frac{2}{x-2}$
$=\frac{-4}{x-2}$（最终结果与后续同学计算均不符，判断乙同学开始出错）
从乙同学开始出现错误。
3. 若分式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，则分式$\frac{4x+5xy-4y}{x-3xy-y}$的值等于()。
A.$-\frac{3}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$-\frac{3}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案：C
解析：
由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，通分得$\frac{y - x}{xy}=2$，即$y - x = 2xy$，则$x - y=-2xy$。
将$x - y=-2xy$代入分式$\frac{4x + 5xy - 4y}{x - 3xy - y}$，分子变形为$4(x - y)+5xy=4(-2xy)+5xy=-8xy + 5xy=-3xy$，分母变形为$(x - y)-3xy=-2xy - 3xy=-5xy$。
故分式的值为$\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$。
将$x - y=-2xy$代入分式$\frac{4x + 5xy - 4y}{x - 3xy - y}$，分子变形为$4(x - y)+5xy=4(-2xy)+5xy=-8xy + 5xy=-3xy$，分母变形为$(x - y)-3xy=-2xy - 3xy=-5xy$。
故分式的值为$\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$。
4. 已知$A$为整式，若计算$\frac{A}{xy+y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+xy}$的结果为$\frac{x-y}{xy}$，则$A=$()。
A.$x+y$
B.$x-y$
C.$x$
D.$y$
A.$x+y$
B.$x-y$
C.$x$
D.$y$
答案：C
解析：
对分母因式分解，$xy + y^2 = y(x + y)$，$x^2 + xy = x(x + y)$，最简公分母为$xy(x + y)$。通分可得：$\frac{A}{y(x + y)} - \frac{y}{x(x + y)} = \frac{Ax - y^2}{xy(x + y)}$。已知结果为$\frac{x - y}{xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy(x + y)} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x + y)}$。则分子相等：$Ax - y^2 = x^2 - y^2$，即$Ax = x^2$，故$A = x$。
5. 甲、乙两人从同一起点沿着同一条路到同一地点去，甲一半路程以速度$m$行走，另一半路程以速度$n$行走；乙一半时间以速度$m$行走，另一半时间以速度$n$行走。那么谁先到达目的地？请说明理由。（速度单位都相同，且$m≠ n$。）
答案：设从起点到目的地的总路程为$s$。
甲的情况：
甲一半路程以速度$m$行走，所用时间为$\frac{s}{2m}$；另一半路程以速度$n$行走，所用时间为$\frac{s}{2n}$。
甲全程所用时间$t_{1}=\frac{s}{2m}+\frac{s}{2n}=\frac{s(m + n)}{2mn}$。
乙的情况：
设乙全程用的总时间为$t_{2}$，则$\frac{t_{2}}{2}× m+\frac{t_{2}}{2}× n = s$，即$t_{2}(m + n)=2s$，所以$t_{2}=\frac{2s}{m + n}$。
比较$t_{1}$与$t_{2}$的大小：
$t_{1}-t_{2}=\frac{s(m + n)}{2mn}-\frac{2s}{m + n}$
$=s(\frac{(m + n)^{2}}{2mn(m + n)}-\frac{4mn}{2mn(m + n)})$
$=s×\frac{(m + n)^{2}-4mn}{2mn(m + n)}$
$=s×\frac{m^{2}+2mn + n^{2}-4mn}{2mn(m + n)}$
$=s×\frac{(m - n)^{2}}{2mn(m + n)}$
因为$m≠ n$，$s＞0$，$m＞0$，$n＞0$，所以$(m - n)^{2}＞0$，$2mn(m + n)＞0$，则$t_{1}-t_{2}＞0$，即$t_{1}＞ t_{2}$。
所以乙先到达目的地。
甲的情况：
甲一半路程以速度$m$行走，所用时间为$\frac{s}{2m}$；另一半路程以速度$n$行走，所用时间为$\frac{s}{2n}$。
甲全程所用时间$t_{1}=\frac{s}{2m}+\frac{s}{2n}=\frac{s(m + n)}{2mn}$。
乙的情况：
设乙全程用的总时间为$t_{2}$，则$\frac{t_{2}}{2}× m+\frac{t_{2}}{2}× n = s$，即$t_{2}(m + n)=2s$，所以$t_{2}=\frac{2s}{m + n}$。
比较$t_{1}$与$t_{2}$的大小：
$t_{1}-t_{2}=\frac{s(m + n)}{2mn}-\frac{2s}{m + n}$
$=s(\frac{(m + n)^{2}}{2mn(m + n)}-\frac{4mn}{2mn(m + n)})$
$=s×\frac{(m + n)^{2}-4mn}{2mn(m + n)}$
$=s×\frac{m^{2}+2mn + n^{2}-4mn}{2mn(m + n)}$
$=s×\frac{(m - n)^{2}}{2mn(m + n)}$
因为$m≠ n$，$s＞0$，$m＞0$，$n＞0$，所以$(m - n)^{2}＞0$，$2mn(m + n)＞0$，则$t_{1}-t_{2}＞0$，即$t_{1}＞ t_{2}$。
所以乙先到达目的地。
6. 已知$a_{1}=x+1$($x≠0$且$x≠-1$)，$a_{2}=\frac{1}{1-a_{1}}$，$a_{3}=\frac{1}{1-a_{2}}$，…，$a_{n}=\frac{1}{1-a_{n-1}}$，则$a_{2025}$等于()。
A.$-x+1$
B.$x+1$
C.$-\frac{1}{x}$
D.$\frac{x}{x+1}$
A.$-x+1$
B.$x+1$
C.$-\frac{1}{x}$
D.$\frac{x}{x+1}$
答案：D
解析：
由题意得，$a_{1}=x+1$；
$a_{2}=\frac{1}{1-a_{1}}=\frac{1}{1-(x+1)}=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$；
$a_{3}=\frac{1}{1-a_{2}}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}$；
$a_{4}=\frac{1}{1-a_{3}}=\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=x+1=a_{1}$，
∴数列以$a_{1},a_{2},a_{3}$为周期循环，周期为3.
∵$2025÷3=675$，余数为0，
∴$a_{2025}=a_{3}=\frac{x}{x+1}$。
$a_{2}=\frac{1}{1-a_{1}}=\frac{1}{1-(x+1)}=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$；
$a_{3}=\frac{1}{1-a_{2}}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}$；
$a_{4}=\frac{1}{1-a_{3}}=\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=x+1=a_{1}$，
∴数列以$a_{1},a_{2},a_{3}$为周期循环，周期为3.
∵$2025÷3=675$，余数为0，
∴$a_{2025}=a_{3}=\frac{x}{x+1}$。
7. （1）先化简$\frac{2x-6}{x}÷(x-\frac{6x-9}{x})$，再从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值；
（2）先化简，再求值：$\frac{a-b}{a+b}-\frac{a}{a+b}÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}-2ab+b^{2}}$，其中$a$，$b$满足$b-2a=0$。
（2）先化简，再求值：$\frac{a-b}{a+b}-\frac{a}{a+b}÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}-2ab+b^{2}}$，其中$a$，$b$满足$b-2a=0$。
答案：（1）
首先化简原式：
$\frac{2x - 6}{x} ÷ ( x - \frac{6x - 9}{x} )$
$= \frac{2(x - 3)}{x} ÷ ( \frac{x^2}{x} - \frac{6x - 9}{x} )$
$= \frac{2(x - 3)}{x} ÷ \frac{x^2 - 6x + 9}{x}$
$= \frac{2(x - 3)}{x} × \frac{x}{(x - 3)^2}$
$= \frac{2}{x - 3}$
由于分母不能为0，所以$x ≠ 0$，$x-3 ≠ 0$即$x ≠ 3$，
从给定的数中选择$x=1$或$x=2$进行代入：
当$x = 1$时，原式$= \frac{2}{1 - 3} = -1$；
当$x = 2$时，原式$= \frac{2}{2 - 3} = -2$；
（选择其中一个值代入即可，这里选择$x=1$作答）
所以当$x = 1$时，值为$-1$。
（2）
首先化简原式：
$\frac{a - b}{a + b} - \frac{a}{a + b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2}$
$= \frac{a - b}{a + b} - \frac{a}{a + b} × \frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$= \frac{a - b}{a + b} - \frac{a(a - b)}{(a + b)^2}$
$= \frac{(a - b)(a + b) - a(a - b)}{(a + b)^2}$
$= \frac{a^2 - b^2 - a^2 + ab}{(a + b)^2}$
$= \frac{ab - b^2}{(a + b)^2}$
$= \frac{b(a - b)}{(a + b)^2}$
由于$b - 2a = 0$，得到$b = 2a$，代入上式得：
$= \frac{2a(a - 2a)}{(a + 2a)^2}$
$= \frac{2a(-a)}{9a^2}$
$= -\frac{2}{9}$
所以值为$-\frac{2}{9}$。
首先化简原式：
$\frac{2x - 6}{x} ÷ ( x - \frac{6x - 9}{x} )$
$= \frac{2(x - 3)}{x} ÷ ( \frac{x^2}{x} - \frac{6x - 9}{x} )$
$= \frac{2(x - 3)}{x} ÷ \frac{x^2 - 6x + 9}{x}$
$= \frac{2(x - 3)}{x} × \frac{x}{(x - 3)^2}$
$= \frac{2}{x - 3}$
由于分母不能为0，所以$x ≠ 0$，$x-3 ≠ 0$即$x ≠ 3$，
从给定的数中选择$x=1$或$x=2$进行代入：
当$x = 1$时，原式$= \frac{2}{1 - 3} = -1$；
当$x = 2$时，原式$= \frac{2}{2 - 3} = -2$；
（选择其中一个值代入即可，这里选择$x=1$作答）
所以当$x = 1$时，值为$-1$。
（2）
首先化简原式：
$\frac{a - b}{a + b} - \frac{a}{a + b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2}$
$= \frac{a - b}{a + b} - \frac{a}{a + b} × \frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$= \frac{a - b}{a + b} - \frac{a(a - b)}{(a + b)^2}$
$= \frac{(a - b)(a + b) - a(a - b)}{(a + b)^2}$
$= \frac{a^2 - b^2 - a^2 + ab}{(a + b)^2}$
$= \frac{ab - b^2}{(a + b)^2}$
$= \frac{b(a - b)}{(a + b)^2}$
由于$b - 2a = 0$，得到$b = 2a$，代入上式得：
$= \frac{2a(a - 2a)}{(a + 2a)^2}$
$= \frac{2a(-a)}{9a^2}$
$= -\frac{2}{9}$
所以值为$-\frac{2}{9}$。