· 跟踪练习1 计算：
（1）$(x^{2}-xy)·\frac{xy}{x^{2}-2xy+y^{2}}÷\frac{x^{2}}{x-y}$；
（2）$1-(x-\frac{1}{1-x})^{2}÷\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}-2x+1}$。
（1）$(x^{2}-xy)·\frac{xy}{x^{2}-2xy+y^{2}}÷\frac{x^{2}}{x-y}$；
（2）$1-(x-\frac{1}{1-x})^{2}÷\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}-2x+1}$。
答案：（1）
原式$= (x^{2} - xy) · \frac{xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}} ÷ \frac{x^{2}}{x - y}$
首先，对 $x^{2} - 2xy + y^{2}$ 进行因式分解，得到 $(x - y)^{2}$。
然后，将除法转化为乘法，即
$= (x^{2} - xy) · \frac{xy}{(x - y)^{2}} · \frac{x - y}{x^{2}}$
接着，对 $x^{2} - xy$ 进行因式分解，得到 $x(x - y)$。
代入上式，得
$= x(x - y) · \frac{xy}{(x - y)^{2}} · \frac{x - y}{x^{2}}$
最后，进行约分，
$= y$
（2）
原式$= 1 - ( x - \frac{1}{1 - x} )^{2} ÷ \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 2x + 1}$
首先，对 $x - \frac{1}{1 - x}$ 进行通分，得到 $\frac{x(1 - x) - 1}{1 - x} = \frac{x - x^{2} - 1}{1 - x}$。
或者写作$\frac{x^{2} - x +1}{ x-1}$（通过调整符号）。
接着，对 $x^{2} - 2x + 1$ 进行因式分解，得到 $(x - 1)^{2}$。
然后，将除法转化为乘法，并注意到 $( \frac{a}{b} )^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$，即
$= 1 - \frac{(x^{2} - x +1)^{2}}{(x - 1)^{2}} · \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} - x + 1}$
在这里，$x^{2} - x + 1$（在实数范围内）不能分解因式，且注意到在原式中，它作为分母出现，因此不能为0（该题默认可以约去）。
然后进行约分，得到：
原式$= 1 - (x^{2} - x + 1)$
$= 1 - x^{2} + x - 1$
$= -x^{2} + x$
原式$= (x^{2} - xy) · \frac{xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}} ÷ \frac{x^{2}}{x - y}$
首先，对 $x^{2} - 2xy + y^{2}$ 进行因式分解，得到 $(x - y)^{2}$。
然后，将除法转化为乘法，即
$= (x^{2} - xy) · \frac{xy}{(x - y)^{2}} · \frac{x - y}{x^{2}}$
接着，对 $x^{2} - xy$ 进行因式分解，得到 $x(x - y)$。
代入上式，得
$= x(x - y) · \frac{xy}{(x - y)^{2}} · \frac{x - y}{x^{2}}$
最后，进行约分，
$= y$
（2）
原式$= 1 - ( x - \frac{1}{1 - x} )^{2} ÷ \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 2x + 1}$
首先，对 $x - \frac{1}{1 - x}$ 进行通分，得到 $\frac{x(1 - x) - 1}{1 - x} = \frac{x - x^{2} - 1}{1 - x}$。
或者写作$\frac{x^{2} - x +1}{ x-1}$（通过调整符号）。
接着，对 $x^{2} - 2x + 1$ 进行因式分解，得到 $(x - 1)^{2}$。
然后，将除法转化为乘法，并注意到 $( \frac{a}{b} )^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$，即
$= 1 - \frac{(x^{2} - x +1)^{2}}{(x - 1)^{2}} · \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} - x + 1}$
在这里，$x^{2} - x + 1$（在实数范围内）不能分解因式，且注意到在原式中，它作为分母出现，因此不能为0（该题默认可以约去）。
然后进行约分，得到：
原式$= 1 - (x^{2} - x + 1)$
$= 1 - x^{2} + x - 1$
$= -x^{2} + x$
【例2】已知$A=(\frac{1}{a-2}+\frac{1}{a+2})÷\frac{2a}{a^{2}-4a+4}$。
（1）化简$A$；
（2）请从$-2$，$2$，$0$，$3$，$4$选取合适的$a$值代入$A$，求出$A$的值。
解 （1）$A=(\frac{1}{a-2}+\frac{1}{a+2})÷\frac{2a}{a^{2}-4a+4}$
$=\frac{a+2+a-2}{(a+2)(a-2)}·\frac{(a-2)^{2}}{2a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}·\frac{(a-2)^{2}}{2a}$
$=\frac{a-2}{a+2}$。
（2）因为当$a=2$或$a=-2$或$a=0$时，$A$无意义，所以$a$可以为$3$或$4$。
当$a=3$时，原式$=\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}$；
当$a=4$时，原式$=\frac{4-2}{4+2}=\frac{1}{3}$。
总结 先将分式化简，然后将所给的未知数的值或某个多项式的值整体代入，进行计算求值。需要注意的是，当提供的未知数的值是一个范围，或者让任选一个数值代入时，要注意所选的数值必须使分式有意义。
（1）化简$A$；
（2）请从$-2$，$2$，$0$，$3$，$4$选取合适的$a$值代入$A$，求出$A$的值。
解 （1）$A=(\frac{1}{a-2}+\frac{1}{a+2})÷\frac{2a}{a^{2}-4a+4}$
$=\frac{a+2+a-2}{(a+2)(a-2)}·\frac{(a-2)^{2}}{2a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}·\frac{(a-2)^{2}}{2a}$
$=\frac{a-2}{a+2}$。
（2）因为当$a=2$或$a=-2$或$a=0$时，$A$无意义，所以$a$可以为$3$或$4$。
当$a=3$时，原式$=\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}$；
当$a=4$时，原式$=\frac{4-2}{4+2}=\frac{1}{3}$。
总结 先将分式化简，然后将所给的未知数的值或某个多项式的值整体代入，进行计算求值。需要注意的是，当提供的未知数的值是一个范围，或者让任选一个数值代入时，要注意所选的数值必须使分式有意义。
答案：（1）$A = ( \frac{1}{a-2} + \frac{1}{a+2} ) ÷ \frac{2a}{a^2 - 4a + 4}$
$= ( \frac{a+2 + a-2}{(a+2)(a-2)} ) ÷ \frac{2a}{(a-2)^2}$
$= \frac{2a}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{2a}$
$= \frac{a-2}{a+2}$
（2）由题意，$a$不能取使分母为零的值，即$a ≠ 2, -2, 0$，故可选$a = 3$或$a = 4$。
当$a = 3$时，$A = \frac{3-2}{3+2} = \frac{1}{5}$；
当$a = 4$时，$A = \frac{4-2}{4+2} = \frac{1}{3}$。
$= ( \frac{a+2 + a-2}{(a+2)(a-2)} ) ÷ \frac{2a}{(a-2)^2}$
$= \frac{2a}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{2a}$
$= \frac{a-2}{a+2}$
（2）由题意，$a$不能取使分母为零的值，即$a ≠ 2, -2, 0$，故可选$a = 3$或$a = 4$。
当$a = 3$时，$A = \frac{3-2}{3+2} = \frac{1}{5}$；
当$a = 4$时，$A = \frac{4-2}{4+2} = \frac{1}{3}$。
· 跟踪练习2 先化简，再求值：$(\frac{3}{a+1}-a+1)÷\frac{a^{2}-4}{a^{2}+2a+1}$，$a$从$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$中取值。
答案：$-1$
解析：
化简过程：
$\begin{aligned}&(\frac{3}{a+1}-a+1)÷\frac{a^2-4}{a^2+2a+1}\\=&[\frac{3}{a+1}-\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}]÷\frac{(a-2)(a+2)}{(a+1)^2}\\=&\frac{3-(a^2-1)}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{(a-2)(a+2)}\\=&\frac{4-a^2}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{(a-2)(a+2)}\\=&\frac{-(a^2-4)(a+1)^2}{(a+1)(a^2-4)}\\=&-(a+1)\\=&-a-1\end{aligned}$
取值条件：
分母不为零，即$a+1≠0$，$a^2-4≠0$，解得$a≠-1$，$a≠\pm2$。故$a$可取值$0$或$1$。
求值：
当$a=0$时，原式$=-0-1=-1$；
当$a=1$时，原式$=-1-1=-2$。
（取$a=0$为例）
$\begin{aligned}&(\frac{3}{a+1}-a+1)÷\frac{a^2-4}{a^2+2a+1}\\=&[\frac{3}{a+1}-\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}]÷\frac{(a-2)(a+2)}{(a+1)^2}\\=&\frac{3-(a^2-1)}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{(a-2)(a+2)}\\=&\frac{4-a^2}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{(a-2)(a+2)}\\=&\frac{-(a^2-4)(a+1)^2}{(a+1)(a^2-4)}\\=&-(a+1)\\=&-a-1\end{aligned}$
取值条件：
分母不为零，即$a+1≠0$，$a^2-4≠0$，解得$a≠-1$，$a≠\pm2$。故$a$可取值$0$或$1$。
求值：
当$a=0$时，原式$=-0-1=-1$；
当$a=1$时，原式$=-1-1=-2$。
（取$a=0$为例）