【例 1】下列式子是分式方程的是()。
A. $\frac{x^{2}+1}{2}=\frac{5}{3}$
B. $\frac{1}{3x-1}+\frac{4x}{3x+1}$
C. $\frac{3-x}{4}+2=\frac{x-4}{3}$
D. $\frac{x}{2x-1}-\frac{3}{2x+1}=1$
解析 A. 方程的分母中不含未知数，故不是分式方程。B. 不是方程，故不是分式方程。C. 方程的分母中不含未知数，故不是分式方程。D. 方程的分母中含有未知数，是分式方程，故选项 D 符合题意。
答案 D
总结 分式方程不仅要含有分母，而且分母中要含有未知数。另外，判断是不是分式方程，不能用等式的基本性质对方程变形后再判断。
A. $\frac{x^{2}+1}{2}=\frac{5}{3}$
B. $\frac{1}{3x-1}+\frac{4x}{3x+1}$
C. $\frac{3-x}{4}+2=\frac{x-4}{3}$
D. $\frac{x}{2x-1}-\frac{3}{2x+1}=1$
解析 A. 方程的分母中不含未知数，故不是分式方程。B. 不是方程，故不是分式方程。C. 方程的分母中不含未知数，故不是分式方程。D. 方程的分母中含有未知数，是分式方程，故选项 D 符合题意。
答案 D
总结 分式方程不仅要含有分母，而且分母中要含有未知数。另外，判断是不是分式方程，不能用等式的基本性质对方程变形后再判断。
答案：D
解析：
A 选项方程分母中不含未知数，不是分式方程；B 选项不是方程，不是分式方程；C 选项方程分母中不含未知数，不是分式方程；D 选项方程分母中含有未知数，是分式方程。
· 跟踪练习 1 下列是分式方程的是()。
A.$\frac{2}{x+1}+\frac{x+4}{3}$
B.$\frac{x}{4}+\frac{x-5}{2}=0$
C.$\frac{1}{x+2}+1=0$
D.$\frac{3}{4}(x-2)=\frac{4}{3}x$
A.$\frac{2}{x+1}+\frac{x+4}{3}$
B.$\frac{x}{4}+\frac{x-5}{2}=0$
C.$\frac{1}{x+2}+1=0$
D.$\frac{3}{4}(x-2)=\frac{4}{3}x$
答案：C
解析：
分式方程的定义是分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
A选项，$\frac{2}{x+1}+\frac{x+4}{3}$，这不是一个方程因为它没有等号，所以A不是分式方程。
B选项，$\frac{x}{4}+\frac{x-5}{2}=0$，这是一个整式方程，虽然有分数形式，但分母中不含有未知数，所以B不是分式方程。
C选项，$\frac{1}{x+2}+1=0$，这是一个分式方程，因为它是一个方程，且分母中含有未知数$x$，所以C是分式方程。
D选项，$\frac{3}{4}(x-2)=\frac{4}{3}x,$这是一个整式方程，分母中不含有未知数，所以D不是分式方程。
A选项，$\frac{2}{x+1}+\frac{x+4}{3}$，这不是一个方程因为它没有等号，所以A不是分式方程。
B选项，$\frac{x}{4}+\frac{x-5}{2}=0$，这是一个整式方程，虽然有分数形式，但分母中不含有未知数，所以B不是分式方程。
C选项，$\frac{1}{x+2}+1=0$，这是一个分式方程，因为它是一个方程，且分母中含有未知数$x$，所以C是分式方程。
D选项，$\frac{3}{4}(x-2)=\frac{4}{3}x,$这是一个整式方程，分母中不含有未知数，所以D不是分式方程。
【例 2】解下列方程：
(1) $\frac{2x-2}{2x-3}=2-\frac{2}{3-2x}$；
(2) $\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^{2}-4x+4}$。
解 (1) 方程两边乘 $2x-3$，得 $2x-2=2(2x-3)+2$。
解得 $x=1$。
检验：当 $x=1$ 时，$2x-3 ≠ 0$。
所以，原分式方程的解为 $x=1$。
(2) 方程两边乘 $(x-2)^{2}$，得 $x(x-2)-(x-2)^{2}=4$。
解得 $x=4$。
检验：当 $x=4$ 时，$(x-2)^{2} ≠ 0$。
所以，原分式方程的解为 $x=4$。
总结 解分式方程时，方程两边乘最简公分母，注意不要漏乘。另外，一定要检验。
(1) $\frac{2x-2}{2x-3}=2-\frac{2}{3-2x}$；
(2) $\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^{2}-4x+4}$。
解 (1) 方程两边乘 $2x-3$，得 $2x-2=2(2x-3)+2$。
解得 $x=1$。
检验：当 $x=1$ 时，$2x-3 ≠ 0$。
所以，原分式方程的解为 $x=1$。
(2) 方程两边乘 $(x-2)^{2}$，得 $x(x-2)-(x-2)^{2}=4$。
解得 $x=4$。
检验：当 $x=4$ 时，$(x-2)^{2} ≠ 0$。
所以，原分式方程的解为 $x=4$。
总结 解分式方程时，方程两边乘最简公分母，注意不要漏乘。另外，一定要检验。
答案：(1)
方程 $\frac{2x - 2}{2x - 3} = 2 - \frac{2}{3 - 2x}$：
方程两边同乘 $2x - 3$ 得：
$2x - 2 = 2(2x - 3) + 2$
展开得：
$2x - 2 = 4x - 6 + 2$
移项合并得：
$-2x = -2$
解得：
$x = 1$
检验：当 $x = 1$ 时，$2x - 3 = 2×1 - 3 = -1≠ 0$，所以 $x = 1$ 是原分式方程的解。
(2)
方程 $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^{2} - 4x + 4}$：
因为 $x^{2} - 4x + 4=(x - 2)^{2}$，方程两边同乘 $(x - 2)^{2}$ 得：
$x(x - 2)-(x - 2)^{2}=4$
展开得：
$x^{2}-2x-(x^{2}-4x + 4)=4$
去括号得：
$x^{2}-2x - x^{2}+4x - 4 = 4$
移项合并得：
$2x=8$
解得：
$x = 4$
检验：当 $x = 4$ 时，$(x - 2)^{2}=(4 - 2)^{2}=4≠ 0$，所以 $x = 4$ 是原分式方程的解。
综上，(1)中方程的解为$x = 1$；(2)中方程的解为$x = 4$。
方程 $\frac{2x - 2}{2x - 3} = 2 - \frac{2}{3 - 2x}$：
方程两边同乘 $2x - 3$ 得：
$2x - 2 = 2(2x - 3) + 2$
展开得：
$2x - 2 = 4x - 6 + 2$
移项合并得：
$-2x = -2$
解得：
$x = 1$
检验：当 $x = 1$ 时，$2x - 3 = 2×1 - 3 = -1≠ 0$，所以 $x = 1$ 是原分式方程的解。
(2)
方程 $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^{2} - 4x + 4}$：
因为 $x^{2} - 4x + 4=(x - 2)^{2}$，方程两边同乘 $(x - 2)^{2}$ 得：
$x(x - 2)-(x - 2)^{2}=4$
展开得：
$x^{2}-2x-(x^{2}-4x + 4)=4$
去括号得：
$x^{2}-2x - x^{2}+4x - 4 = 4$
移项合并得：
$2x=8$
解得：
$x = 4$
检验：当 $x = 4$ 时，$(x - 2)^{2}=(4 - 2)^{2}=4≠ 0$，所以 $x = 4$ 是原分式方程的解。
综上，(1)中方程的解为$x = 1$；(2)中方程的解为$x = 4$。
· 跟踪练习 2 解分式方程 $\frac{x}{x-2}-2=\frac{x-1}{2-x}$ 时，去分母正确的是()。
A.$x-2=x-1$
B.$x-2(x-2)=-x+1$
C.$x-2(x-2)=-x-1$
D.$x-2(x-2)=x-1$
A.$x-2=x-1$
B.$x-2(x-2)=-x+1$
C.$x-2(x-2)=-x-1$
D.$x-2(x-2)=x-1$
答案：B
解析：
方程两边同乘最简公分母$(x - 2)$，原方程$\frac{x}{x - 2}-2=\frac{x - 1}{2 - x}$可化为$\frac{x}{x - 2}-2=-\frac{x - 1}{x - 2}$，去分母得$x - 2(x - 2)=-(x - 1)$，即$x - 2(x - 2)= - x + 1$。