【例 3】若关于 $x$ 的方程 $\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x}=0$ 的解为负数，则 $m$ 的取值范围是()。
A.$m＜2$
B.$m＞2$
C.$m＜2$ 且 $m ≠ 0$
D.$m＞2$ 且 $m ≠ 4$
解析 方程两边乘 $x(x+1)$，得 $mx-2(x+1)=0$。
解得 $x=\frac{2}{m-2}$。
因为方程的解为负数，
所以 $\frac{2}{m-2}＜0$。
所以 $m＜2$。
又因为 $x ≠ 0$，$x ≠ -1$，
所以 $m ≠ 0$。
所以 $m$ 的取值范围是 $m＜2$ 且 $m ≠ 0$。
答案 C
总结 这类问题通常是将分式方程化为整式方程，解该整式方程，然后根据已知分式方程提供的解的情况，结合使分式方程有意义的条件判断方程中字母的取值范围。
A.$m＜2$
B.$m＞2$
C.$m＜2$ 且 $m ≠ 0$
D.$m＞2$ 且 $m ≠ 4$
解析 方程两边乘 $x(x+1)$，得 $mx-2(x+1)=0$。
解得 $x=\frac{2}{m-2}$。
因为方程的解为负数，
所以 $\frac{2}{m-2}＜0$。
所以 $m＜2$。
又因为 $x ≠ 0$，$x ≠ -1$，
所以 $m ≠ 0$。
所以 $m$ 的取值范围是 $m＜2$ 且 $m ≠ 0$。
答案 C
总结 这类问题通常是将分式方程化为整式方程，解该整式方程，然后根据已知分式方程提供的解的情况，结合使分式方程有意义的条件判断方程中字母的取值范围。
答案：C
解析：
方程两边同乘$x(x + 1)$，得$mx-2(x + 1)=0$，
整理得$(m - 2)x=2$，
当$m≠2$时，$x=\frac{2}{m - 2}$。
因为方程的解为负数，所以$\frac{2}{m - 2}＜0$，则$m - 2＜0$，解得$m＜2$。
又因为原方程分母不能为$0$，即$x≠0$且$x≠ - 1$。
当$x = 0$时，$\frac{2}{m - 2}=0$，此方程无解；
当$x=-1$时，$\frac{2}{m - 2}=-1$，解得$m = 0$。
所以$m≠0$。
综上，$m$的取值范围是$m＜2$且$m≠0$。
整理得$(m - 2)x=2$，
当$m≠2$时，$x=\frac{2}{m - 2}$。
因为方程的解为负数，所以$\frac{2}{m - 2}＜0$，则$m - 2＜0$，解得$m＜2$。
又因为原方程分母不能为$0$，即$x≠0$且$x≠ - 1$。
当$x = 0$时，$\frac{2}{m - 2}=0$，此方程无解；
当$x=-1$时，$\frac{2}{m - 2}=-1$，解得$m = 0$。
所以$m≠0$。
综上，$m$的取值范围是$m＜2$且$m≠0$。
· 跟踪练习 3 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1-m}{x-1}-\frac{2}{1-x}=1$ 的解是非负数，则 $m$ 的取值范围是()。
A.$m ≤ 4$
B.$m ≤ 0$
C.$m ≤ 4$ 且 $m ≠ 3$
D.$m ≤ 0$ 且 $m ≠ -1$
A.$m ≤ 4$
B.$m ≤ 0$
C.$m ≤ 4$ 且 $m ≠ 3$
D.$m ≤ 0$ 且 $m ≠ -1$
答案：C
解析：
方程变形为$\frac{1-m}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1$，合并得$\frac{3-m}{x-1}=1$，去分母得$3-m=x-1$，解得$x=4-m$。
∵解是非负数，∴$4-m≥0$，即$m≤4$。
∵分母$x-1≠0$，∴$x≠1$，即$4-m≠1$，解得$m≠3$。
综上，$m≤4$且$m≠3$。
∵解是非负数，∴$4-m≥0$，即$m≤4$。
∵分母$x-1≠0$，∴$x≠1$，即$4-m≠1$，解得$m≠3$。
综上，$m≤4$且$m≠3$。
1. 下列式子是分式方程的是()。
A.$\frac{4a+5}{2π}=\frac{a}{3}$
B.$\frac{4x-1}{2x+3}+\frac{5}{2x-3}$
C.$\frac{4}{x+1}-\frac{3}{2x+1}=1$
D.$\frac{5x-6}{3}+4=\frac{x}{2}$
A.$\frac{4a+5}{2π}=\frac{a}{3}$
B.$\frac{4x-1}{2x+3}+\frac{5}{2x-3}$
C.$\frac{4}{x+1}-\frac{3}{2x+1}=1$
D.$\frac{5x-6}{3}+4=\frac{x}{2}$
答案：C
解析：
分式方程的定义是分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
A选项：$\frac{4a+5}{2π }=\frac{a}{3}$，分母中不含有未知数，故A错误；
B选项：$\frac{4x-1}{2x+3} +\frac{5}{2x-3}$，它不是一个等式，所以它不是一个方程，故B错误；
C选项：$\frac{4}{x+1}-\frac{3}{2x+1 } =1$，分母中含有未知数，且是等式，所以它是一个分式方程，故C正确；
D选项：$\frac{5x-6}{3} +4=\frac{x}{2}$，分母中不含有未知数，故D错误。
A选项：$\frac{4a+5}{2π }=\frac{a}{3}$，分母中不含有未知数，故A错误；
B选项：$\frac{4x-1}{2x+3} +\frac{5}{2x-3}$，它不是一个等式，所以它不是一个方程，故B错误；
C选项：$\frac{4}{x+1}-\frac{3}{2x+1 } =1$，分母中含有未知数，且是等式，所以它是一个分式方程，故C正确；
D选项：$\frac{5x-6}{3} +4=\frac{x}{2}$，分母中不含有未知数，故D错误。
2. 解分式方程 $\frac{2x}{x-1}+3=\frac{x-2}{1-x}$ 时，去分母正确的是()。
A.$2x+3=x-2$
B.$2x+3(x-1)=x-2$
C.$2x+3(x-1)=-x+2$
D.$2x+3(x-1)=-x-2$
A.$2x+3=x-2$
B.$2x+3(x-1)=x-2$
C.$2x+3(x-1)=-x+2$
D.$2x+3(x-1)=-x-2$
答案：C
解析：
原方程$\frac{2x}{x-1}+3=\frac{x-2}{1-x}$，给两边同乘最简公分母$x - 1$（$1 - x=-(x - 1)$），方程右边$\frac{x - 2}{1 - x}=\frac{x - 2}{-(x - 1)}=-\frac{x - 2}{x - 1}$，去分母得$2x+3(x - 1)=-(x - 2)=-x + 2$。
3. 分式方程 $\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x+1}$ 的解为()。
A.$x=-7$
B.$x=-5$
C.$x=5$
D.$x=7$
A.$x=-7$
B.$x=-5$
C.$x=5$
D.$x=7$
答案：D
解析：
方程两边同乘最简公分母$(x - 3)(x + 1)$，得$x + 1 = 2(x - 3)$。去括号，得$x + 1 = 2x - 6$。移项，得$x - 2x = -6 - 1$。合并同类项，得$-x = -7$。系数化为$1$，得$x = 7$。检验：当$x = 7$时，$(x - 3)(x + 1) = (7 - 3)(7 + 1) = 4×8 = 32 ≠ 0$，所以$x = 7$是原分式方程的解。
4. 小明同学解方程 $\frac{1+y}{y-3}=\frac{2}{3-y}-1$ 的过程如下。
解：方程两边乘 $y-3$，得 $1+y=-2-(y-3)$。(第一步)
去括号，得 $1+y=-2-y-3$。(第二步)
移项，得 $y+y=-2-3-1$。(第三步)
合并同类项，得 $2y=-6$。(第四步)
系数化为 1，得 $y=-3$。(第五步)
下列说法正确的是()。
A.从第一步开始出现错误
B.从第二步开始出现错误
C.从第三步开始出现错误
D.从第四步开始出现错误
解：方程两边乘 $y-3$，得 $1+y=-2-(y-3)$。(第一步)
去括号，得 $1+y=-2-y-3$。(第二步)
移项，得 $y+y=-2-3-1$。(第三步)
合并同类项，得 $2y=-6$。(第四步)
系数化为 1，得 $y=-3$。(第五步)
下列说法正确的是()。
A.从第一步开始出现错误
B.从第二步开始出现错误
C.从第三步开始出现错误
D.从第四步开始出现错误
答案：B
解析：
第一步：方程两边乘$y - 3$，右边$\frac{2}{3 - y} = -\frac{2}{y - 3}$，乘$y - 3$后得$-2$，再减$1$乘$y - 3$得$-(y - 3)$，所以第一步正确；第二步：去括号$-(y - 3) = -y + 3$，原第二步写成$-y - 3$，错误；故从第二步开始出现错误。
5. 淇淇准备解方程 “$\frac{2}{?}+\frac{1}{x+2}=0$”，发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是 $x=-1$，请你帮助淇淇推断印刷不清的位置可能是()。
A.$x+1$
B.$-x-1$
C.$x-1$
D.$x^{2}-1$
A.$x+1$
B.$-x-1$
C.$x-1$
D.$x^{2}-1$
答案：C
解析：
设印刷不清的分母为$A$，原方程为$\frac{2}{A}+\frac{1}{x+2}=0$。将$x=-1$代入方程，得$\frac{2}{A}+\frac{1}{-1+2}=0$，即$\frac{2}{A}+1=0$，解得$A=-2$。分别将$x=-1$代入各选项：A中$x+1=0$（分母为0，舍去）；B中$-x-1=0$（分母为0，舍去）；C中$x-1=-2$（符合）；D中$x^2-1=0$（分母为0，舍去）。故印刷不清的位置为$x-1$。