6. 解下列方程：
(1) $\frac{3}{y-1}=\frac{2}{y}$；
(2) $\frac{x+1}{x-1}-\frac{14}{x^{2}-1}=1$。
(1) $\frac{3}{y-1}=\frac{2}{y}$；
(2) $\frac{x+1}{x-1}-\frac{14}{x^{2}-1}=1$。
答案：(1) 方程两边同乘 $ y(y - 1) $，得 $ 3y = 2(y - 1) $，
去括号，得 $ 3y = 2y - 2 $，
移项，得 $ 3y - 2y = -2 $，
合并同类项，得 $ y = -2 $，
检验：当 $ y = -2 $ 时，$ y(y - 1) = -2×(-3) = 6 ≠ 0 $，
所以原分式方程的解为 $ y = -2 $。
(2) 方程两边同乘 $ (x - 1)(x + 1) $，得 $ (x + 1)^2 - 14 = (x - 1)(x + 1) $，
去括号，得 $ x^2 + 2x + 1 - 14 = x^2 - 1 $，
移项，得 $ x^2 + 2x - x^2 = -1 - 1 + 14 $，
合并同类项，得 $ 2x = 12 $，
系数化为 1，得 $ x = 6 $，
检验：当 $ x = 6 $ 时，$ (x - 1)(x + 1) = 5×7 = 35 ≠ 0 $，
所以原分式方程的解为 $ x = 6 $。
去括号，得 $ 3y = 2y - 2 $，
移项，得 $ 3y - 2y = -2 $，
合并同类项，得 $ y = -2 $，
检验：当 $ y = -2 $ 时，$ y(y - 1) = -2×(-3) = 6 ≠ 0 $，
所以原分式方程的解为 $ y = -2 $。
(2) 方程两边同乘 $ (x - 1)(x + 1) $，得 $ (x + 1)^2 - 14 = (x - 1)(x + 1) $，
去括号，得 $ x^2 + 2x + 1 - 14 = x^2 - 1 $，
移项，得 $ x^2 + 2x - x^2 = -1 - 1 + 14 $，
合并同类项，得 $ 2x = 12 $，
系数化为 1，得 $ x = 6 $，
检验：当 $ x = 6 $ 时，$ (x - 1)(x + 1) = 5×7 = 35 ≠ 0 $，
所以原分式方程的解为 $ x = 6 $。
7. 如图，点 A，B 在数轴上所表示的数分别是 $-4$，$\frac{2m+2}{3m-5}$，且点 A，B 到原点的距离相等。求 $m$ 的值。
答案：因为点 A，B 到原点的距离相等，点 A 表示的数是 -4，所以点 B 表示的数是 4 或 -4。
情况一：$\frac{2m + 2}{3m - 5} = 4$
方程两边同乘 $3m - 5$得：$2m + 2 = 4(3m - 5)$
去括号：$2m + 2 = 12m - 20$
移项：$2m - 12m = -20 - 2$
合并同类项：$-10m = -22$
解得：$m = \frac{11}{5}$
检验：当$m = \frac{11}{5}$时，$3m - 5 = 3×\frac{11}{5} - 5 = \frac{33}{5} - \frac{25}{5} = \frac{8}{5} ≠ 0$，所以$m = \frac{11}{5}$是原方程的解。
情况二：$\frac{2m + 2}{3m - 5} = -4$
方程两边同乘 $3m - 5$得：$2m + 2 = -4(3m - 5)$
去括号：$2m + 2 = -12m + 20$
移项：$2m + 12m = 20 - 2$
合并同类项：$14m = 18$
解得：$m = \frac{9}{7}$
检验：当$m = \frac{9}{7}$时，$3m - 5 = 3×\frac{9}{7} - 5 = \frac{27}{7} - \frac{35}{7} = -\frac{8}{7} ≠ 0$，所以$m = \frac{9}{7}$是原方程的解。
综上，$m$的值为$\frac{11}{5}$或$\frac{9}{7}$。
情况一：$\frac{2m + 2}{3m - 5} = 4$
方程两边同乘 $3m - 5$得：$2m + 2 = 4(3m - 5)$
去括号：$2m + 2 = 12m - 20$
移项：$2m - 12m = -20 - 2$
合并同类项：$-10m = -22$
解得：$m = \frac{11}{5}$
检验：当$m = \frac{11}{5}$时，$3m - 5 = 3×\frac{11}{5} - 5 = \frac{33}{5} - \frac{25}{5} = \frac{8}{5} ≠ 0$，所以$m = \frac{11}{5}$是原方程的解。
情况二：$\frac{2m + 2}{3m - 5} = -4$
方程两边同乘 $3m - 5$得：$2m + 2 = -4(3m - 5)$
去括号：$2m + 2 = -12m + 20$
移项：$2m + 12m = 20 - 2$
合并同类项：$14m = 18$
解得：$m = \frac{9}{7}$
检验：当$m = \frac{9}{7}$时，$3m - 5 = 3×\frac{9}{7} - 5 = \frac{27}{7} - \frac{35}{7} = -\frac{8}{7} ≠ 0$，所以$m = \frac{9}{7}$是原方程的解。
综上，$m$的值为$\frac{11}{5}$或$\frac{9}{7}$。
8. 关于 $x$ 的方程 $\frac{mx}{m-1}-\frac{2}{x-1}=1$ 的解与方程 $\frac{x-4}{x}=3$ 的解相同，求 $m$ 的值。
答案：1. 解方程$\frac{x - 4}{x} = 3$：
两边同乘$x$得：$x - 4 = 3x$，
移项合并得：$-2x = 4$，解得$x = -2$。
检验：当$x = -2$时，分母$x = -2 ≠ 0$，故$x = -2$是该方程的解。
2. 将$x = -2$代入方程$\frac{mx}{m - 1} - \frac{2}{x - 1} = 1$：
得$\frac{m(-2)}{m - 1} - \frac{2}{-2 - 1} = 1$，
化简得$\frac{-2m}{m - 1} + \frac{2}{3} = 1$。
3. 解关于$m$的方程：
移项得$\frac{-2m}{m - 1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$，
两边同乘$3(m - 1)$得：$-6m = m - 1$，
移项合并得：$-7m = -1$，解得$m = \frac{1}{7}$。
4. 检验：当$m = \frac{1}{7}$时，$m - 1 = \frac{1}{7} - 1 = -\frac{6}{7} ≠ 0$，符合题意。
$m = \frac{1}{7}$
两边同乘$x$得：$x - 4 = 3x$，
移项合并得：$-2x = 4$，解得$x = -2$。
检验：当$x = -2$时，分母$x = -2 ≠ 0$，故$x = -2$是该方程的解。
2. 将$x = -2$代入方程$\frac{mx}{m - 1} - \frac{2}{x - 1} = 1$：
得$\frac{m(-2)}{m - 1} - \frac{2}{-2 - 1} = 1$，
化简得$\frac{-2m}{m - 1} + \frac{2}{3} = 1$。
3. 解关于$m$的方程：
移项得$\frac{-2m}{m - 1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$，
两边同乘$3(m - 1)$得：$-6m = m - 1$，
移项合并得：$-7m = -1$，解得$m = \frac{1}{7}$。
4. 检验：当$m = \frac{1}{7}$时，$m - 1 = \frac{1}{7} - 1 = -\frac{6}{7} ≠ 0$，符合题意。
$m = \frac{1}{7}$
9. （新定义）对于非零的有理数 $a$，$b$，规定 $a*b=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$。若 $(x-2)*3=2$，求 $x$ 的值。
答案：$x = \frac{7}{5}$
解析：
根据新定义 $a*b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$，将 $a = x - 2$，$b = 3$ 代入得：
$(x - 2)*3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{x - 2}$
已知 $(x - 2)*3 = 2$，则：
$\frac{1}{3} - \frac{1}{x - 2} = 2$
移项得：
$-\frac{1}{x - 2} = 2 - \frac{1}{3}$
$-\frac{1}{x - 2} = \frac{5}{3}$
两边同时乘以 $-1$：
$\frac{1}{x - 2} = -\frac{5}{3}$
交叉相乘得：
$-5(x - 2) = 3$
$-5x + 10 = 3$
$-5x = -7$
$x = \frac{7}{5}$
检验：当 $x = \frac{7}{5}$ 时，$x - 2 = \frac{7}{5} - 2 = -\frac{3}{5} ≠ 0$，分母不为零，所以 $x = \frac{7}{5}$ 是原方程的解。
$(x - 2)*3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{x - 2}$
已知 $(x - 2)*3 = 2$，则：
$\frac{1}{3} - \frac{1}{x - 2} = 2$
移项得：
$-\frac{1}{x - 2} = 2 - \frac{1}{3}$
$-\frac{1}{x - 2} = \frac{5}{3}$
两边同时乘以 $-1$：
$\frac{1}{x - 2} = -\frac{5}{3}$
交叉相乘得：
$-5(x - 2) = 3$
$-5x + 10 = 3$
$-5x = -7$
$x = \frac{7}{5}$
检验：当 $x = \frac{7}{5}$ 时，$x - 2 = \frac{7}{5} - 2 = -\frac{3}{5} ≠ 0$，分母不为零，所以 $x = \frac{7}{5}$ 是原方程的解。