6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$BD$平分$∠ ABC$.
（1）若$∠ C=42°$，求$∠ ADB$的度数.
（2）在图中画出$△ ABC$的边$BC$上的高$AE$，与$BD$相交于点$F$. 求证：
①$∠ BAE=∠ C$；②$∠ AFD=∠ ADF$.
（1）若$∠ C=42°$，求$∠ ADB$的度数.
（2）在图中画出$△ ABC$的边$BC$上的高$AE$，与$BD$相交于点$F$. 求证：
①$∠ BAE=∠ C$；②$∠ AFD=∠ ADF$.
答案：（1）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=42°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=180°-90°-42°=48°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC/2=48°/2=24°.
在△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=24°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-90°-24°=66°.
（2）画图：过点A作AE⊥BC于E，AE与BD交于点F.
①证明：∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°.
在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°.
在△ABE中，∠AEB=90°，∴∠ABC+∠BAE=90°.
∴∠BAE=∠C（同角的余角相等）.
②证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC.
由①知∠BAE=∠C.
在△BFE中，∠AEB=90°，∴∠BFE=90°-∠DBC.
∵∠AFD=∠BFE（对顶角相等），∴∠AFD=90°-∠DBC.
在△ABD中，∠BAD=90°，∴∠ADF=180°-∠BAD-∠ABD=90°-∠ABD.
∵∠ABD=∠DBC，∴∠ADF=90°-∠DBC.
∴∠AFD=∠ADF.
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=180°-90°-42°=48°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC/2=48°/2=24°.
在△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=24°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-90°-24°=66°.
（2）画图：过点A作AE⊥BC于E，AE与BD交于点F.
①证明：∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°.
在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°.
在△ABE中，∠AEB=90°，∴∠ABC+∠BAE=90°.
∴∠BAE=∠C（同角的余角相等）.
②证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC.
由①知∠BAE=∠C.
在△BFE中，∠AEB=90°，∴∠BFE=90°-∠DBC.
∵∠AFD=∠BFE（对顶角相等），∴∠AFD=90°-∠DBC.
在△ABD中，∠BAD=90°，∴∠ADF=180°-∠BAD-∠ABD=90°-∠ABD.
∵∠ABD=∠DBC，∴∠ADF=90°-∠DBC.
∴∠AFD=∠ADF.
7. 小莹将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则$∠ α=$().
A.$70°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$85°$
A.$70°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$85°$
答案：B
解析：
如图，直尺上下两边平行，过∠α的顶点作直尺的平行线，根据平行线的性质，∠α的度数等于45°角与30°角的和，即∠α=45°+30°=75°。
8. 如图，在Rt$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$D$在边$AB$上，将$△ CBD$沿$CD$折叠，使点$B$恰好落在边$AC$上的点$E$处. 若$∠ A=20°$，则$∠ CDE=$.
答案：65
解析：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，则∠B=180°-90°-20°=70°。
由折叠性质知：△CBD≌△CED，故∠CED=∠B=70°，∠BCD=∠ECD。
∵∠ACB=90°，∠BCD=∠ECD，∴∠ECD=∠BCD=45°。
在△CED中，∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-70°-45°=65°。
由折叠性质知：△CBD≌△CED，故∠CED=∠B=70°，∠BCD=∠ECD。
∵∠ACB=90°，∠BCD=∠ECD，∴∠ECD=∠BCD=45°。
在△CED中，∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-70°-45°=65°。
9. （跨学科融合）在学习了平行线和平面镜的相关知识后，同学们进行跨学科综合编题. 已知射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等. 如图（1），$MN$是平面镜，$AO$，$OB$分别为入射光线与反射光线，则$∠ AOM=∠ BON$. 小明设计如下：如图（2），入射光线$DE$经镜面$PQ$与$PM$反射后，在点$F$处射出. 若$HF⊥ PM$，$DE//HF$，镜面$PQ$与$PM$的夹角即$∠ QPM=120°$，求$∠ MFG$的度数.
答案：解：
∵HF⊥PM，DE//HF，
∴DE⊥PM（两平行线中的一条垂直于第三条直线，另一条也垂直），即DE与PM的夹角为90°。
∵∠QPM=120°（镜面PQ与PM的夹角），
∴入射光线DE与镜面PQ的夹角α=∠QPM - 90°=120° - 90°=30°。
由反射定律，反射光线EF与镜面PQ的夹角等于α=30°，即∠PEF=30°。
在△EPF中，∠EPF=120°，∠PEF=30°，
∴∠PFE=180° - ∠EPF - ∠PEF=180° - 120° - 30°=30°。
由反射定律，反射光线FG与镜面PM的夹角∠MFG=∠PFE=30°。
答：∠MFG的度数为30°。
∵HF⊥PM，DE//HF，
∴DE⊥PM（两平行线中的一条垂直于第三条直线，另一条也垂直），即DE与PM的夹角为90°。
∵∠QPM=120°（镜面PQ与PM的夹角），
∴入射光线DE与镜面PQ的夹角α=∠QPM - 90°=120° - 90°=30°。
由反射定律，反射光线EF与镜面PQ的夹角等于α=30°，即∠PEF=30°。
在△EPF中，∠EPF=120°，∠PEF=30°，
∴∠PFE=180° - ∠EPF - ∠PEF=180° - 120° - 30°=30°。
由反射定律，反射光线FG与镜面PM的夹角∠MFG=∠PFE=30°。
答：∠MFG的度数为30°。