5. 如图，AC = BC，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = β，AD，BE 相交于点 M，连接 CM。
(1) 求证 AD = BE；
(2) 用含 β 的代数式表示 ∠AMB 的度数。
(1) 求证 AD = BE；
(2) 用含 β 的代数式表示 ∠AMB 的度数。
答案：(1) 见证明过程；(2) ∠AMB=β。
解析：
(1) 证明：
∵∠ACB=∠DCE=β，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l} AC=BC \\ ∠ACD=∠BCE \\ CD=CE \end{array} $，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
(2) 由(1)知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE。
设AD与BC交于点N，
在△ANC和△BNM中，∠ANC=∠BNM（对顶角相等），
∴∠AMB=∠ACB=β。
∵∠ACB=∠DCE=β，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l} AC=BC \\ ∠ACD=∠BCE \\ CD=CE \end{array} $，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
(2) 由(1)知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE。
设AD与BC交于点N，
在△ANC和△BNM中，∠ANC=∠BNM（对顶角相等），
∴∠AMB=∠ACB=β。
6. 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFH 有公共顶点 C，∠BCD = ∠ECH = 90°，连接 DE，BH，两线相交于点 G，BH 与 CD 相交于点 O。求证：
(1) BH = DE；
(2) BH ⊥ DE。
(1) BH = DE；
(2) BH ⊥ DE。
答案：(1) 证明：
∵四边形ABCD和四边形CEFH是正方形，
∴BC=CD，CH=CE，∠BCD=∠ECH=90°。
∵∠BCH=∠BCD+∠DCH，∠DCE=∠ECH+∠DCH，
∴∠BCH=∠DCE。
在△BCH和△DCE中，
$\{\begin{array}{l} BC=DC \\ ∠BCH=∠DCE \\ CH=CE \end{array} $，
∴△BCH≌△DCE(SAS)，
∴BH=DE。
(2) 证明：
由(1)知△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE。
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠BCO=180°，
∵∠BCO=90°，
∴∠BOC+∠OBC=90°。
∵∠OBC=∠CDE，∠BOC=∠DOG（对顶角相等），
∴∠DOG+∠CDE=90°。
在△DOG中，∠DOG+∠CDE+∠OGD=180°，
∴∠OGD=180°-90°=90°，
∴BH⊥DE。
∵四边形ABCD和四边形CEFH是正方形，
∴BC=CD，CH=CE，∠BCD=∠ECH=90°。
∵∠BCH=∠BCD+∠DCH，∠DCE=∠ECH+∠DCH，
∴∠BCH=∠DCE。
在△BCH和△DCE中，
$\{\begin{array}{l} BC=DC \\ ∠BCH=∠DCE \\ CH=CE \end{array} $，
∴△BCH≌△DCE(SAS)，
∴BH=DE。
(2) 证明：
由(1)知△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE。
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠BCO=180°，
∵∠BCO=90°，
∴∠BOC+∠OBC=90°。
∵∠OBC=∠CDE，∠BOC=∠DOG（对顶角相等），
∴∠DOG+∠CDE=90°。
在△DOG中，∠DOG+∠CDE+∠OGD=180°，
∴∠OGD=180°-90°=90°，
∴BH⊥DE。
7. 如图，在四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上一点，且 BE = CD，∠B = ∠AED = ∠C。求证 AE = ED。
答案：证明：
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE（三角形外角等于不相邻两内角和）。
又∵∠AEC = ∠AED + ∠DEC，且∠B = ∠AED，
∴∠B + ∠BAE = ∠AED + ∠DEC，
∴∠BAE = ∠DEC。
在△ABE和△ECD中，
∠B = ∠C（已知），
BE = CD（已知），
∠BAE = ∠DEC（已证），
∴△ABE ≌ △ECD（ASA）。
∴AE = ED（全等三角形对应边相等）。
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE（三角形外角等于不相邻两内角和）。
又∵∠AEC = ∠AED + ∠DEC，且∠B = ∠AED，
∴∠B + ∠BAE = ∠AED + ∠DEC，
∴∠BAE = ∠DEC。
在△ABE和△ECD中，
∠B = ∠C（已知），
BE = CD（已知），
∠BAE = ∠DEC（已证），
∴△ABE ≌ △ECD（ASA）。
∴AE = ED（全等三角形对应边相等）。
8. 如图，点 B，C，D 在同一条直线上，AB ⊥ BD，DE ⊥ BD，AC ⊥ CE，AB = CD。
(1) 求证 △ABC ≌ △CDE；
(2) 若 ∠ACB = 35°，求 ∠AED 的度数。
(1) 求证 △ABC ≌ △CDE；
(2) 若 ∠ACB = 35°，求 ∠AED 的度数。
答案：(1) 见证明过程；(2) 80°。
解析：
(1) 证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°。
∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°。
∵点B，C，D共线，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，∴∠ACB+∠ECD=90°。
∴∠BAC=∠ECD（同角的余角相等）。
在△ABC和△CDE中，
∠B=∠D，
AB=CD，
∠BAC=∠ECD，
∴△ABC≌△CDE（ASA）。
(2) ∵△ABC≌△CDE，∴∠ACB=∠CED=35°，AC=CE。
∵AC⊥CE，AC=CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠CEA=45°。
∴∠AED=∠CEA+∠CED=45°+35°=80°。
∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°。
∵点B，C，D共线，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，∴∠ACB+∠ECD=90°。
∴∠BAC=∠ECD（同角的余角相等）。
在△ABC和△CDE中，
∠B=∠D，
AB=CD，
∠BAC=∠ECD，
∴△ABC≌△CDE（ASA）。
(2) ∵△ABC≌△CDE，∴∠ACB=∠CED=35°，AC=CE。
∵AC⊥CE，AC=CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠CEA=45°。
∴∠AED=∠CEA+∠CED=45°+35°=80°。