7. 如图，在平面直角坐标系的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，$△ ABC$的三个顶点都在格点上.
（1）在网格中画出$△ ABC$向右平移 5 个单位长度，向上平移 1 个单位长度得到的$△ A_1B_1C_1$；
（2）在网格中画出与$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A_2B_2C_2$；
（3）在$x$轴上找一点$Q$，使$|QA_1 - QC_2|$的值最大，求点$Q$的坐标.
（1）在网格中画出$△ ABC$向右平移 5 个单位长度，向上平移 1 个单位长度得到的$△ A_1B_1C_1$；
（2）在网格中画出与$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A_2B_2C_2$；
（3）在$x$轴上找一点$Q$，使$|QA_1 - QC_2|$的值最大，求点$Q$的坐标.
答案：（1）
$A_1(0 + 5,4 + 1)=(5,5)$，$B_1(-4 + 5,3 + 1)=(1,4)$，$C_1(-1 + 5,2 + 1)=(4,3)$，
在坐标系中描出$A_1(5,5)$，$B_1(1,4)$，$C_1(4,3)$，连接三点得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）
$A_2(-0,-4)=(0,- 4)$（这里原$A$点坐标假设为$(-0,4)$实际应为$(0,4)$，同理），$B_2(-4,-3)$，$C_2(-1,-2)$，
在坐标系中描出$A_2(0,-4)$，$B_2(-4,-3)$，$C_2(-1,-2)$，连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
（3）
延长$A_2C_2$交$x$轴于点$Q$，
设直线$A_2C_2$的解析式为$y = kx + b$，
$\begin{cases}b=-4\\-k + b=-2\end{cases}$，
将$b = - 4$代入$-k + b=-2$得：$-k-4=-2$，解得$k = - 2$，
所以直线$A_2C_2$的解析式为$y=-2x - 4$，
当$y = 0$时，$-2x-4 = 0$，$x=-2$，
所以$Q(-2,0)$。
$A_1(0 + 5,4 + 1)=(5,5)$，$B_1(-4 + 5,3 + 1)=(1,4)$，$C_1(-1 + 5,2 + 1)=(4,3)$，
在坐标系中描出$A_1(5,5)$，$B_1(1,4)$，$C_1(4,3)$，连接三点得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）
$A_2(-0,-4)=(0,- 4)$（这里原$A$点坐标假设为$(-0,4)$实际应为$(0,4)$，同理），$B_2(-4,-3)$，$C_2(-1,-2)$，
在坐标系中描出$A_2(0,-4)$，$B_2(-4,-3)$，$C_2(-1,-2)$，连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
（3）
延长$A_2C_2$交$x$轴于点$Q$，
设直线$A_2C_2$的解析式为$y = kx + b$，
$\begin{cases}b=-4\\-k + b=-2\end{cases}$，
将$b = - 4$代入$-k + b=-2$得：$-k-4=-2$，解得$k = - 2$，
所以直线$A_2C_2$的解析式为$y=-2x - 4$，
当$y = 0$时，$-2x-4 = 0$，$x=-2$，
所以$Q(-2,0)$。
8. (新定义)在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$M(a,b)$，我们将经过点$(a,0)$且垂直于$x$轴的直线记为直线$x = a$，将经过点$(0,b)$且垂直于$y$轴的直线记为直线$y = b$.
对于点$P$给出如下定义：将点$P$关于直线$x = a$对称得到点$P'$，再将点$P'$关于直线$y = b$对称得到点$Q$，称点$Q$为点$P$关于点$M$的“对应点”. 对于图形$G$给出如下定义：将图形$G$关于直线$x = a$对称得到图形$G'$，再将图形$G'$关于直线$y = b$对称得到图形$W$，称图形$W$为图形$G$关于点$M$的“对应图形”.
如图，已知$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(2,0)$，$B(4,0)$，$C(3,-3)$.
(1)已知点$M(1,1)$.
①由定义知，将点$A$关于直线$x = 1$对称得到点$(0,0)$，再将点$(0,0)$关于直线$y = 1$对称得到点$(0,2)$，则点$A$关于点$M$的“对应点”为点$(0,2)$. 那么，点$B$关于点$M$的“对应点”为点，点$C$关于点$M$的“对应点”为点.
②已知点$P_1(-1,n)$和点$P_2(-1,n + 1)$. 若线段$P_1P_2$关于点$M$的“对应线段”$Q_1Q_2$在$△ ABC$的内部(不含三角形的边)，求$n$的取值范围.
(2)若$y$轴上存在点$D$，使点$D$关于点$M(a,b)$的“对应点”恰好落在$△ ABC$的边上，求点$M$的横坐标$a$的取值范围.
对于点$P$给出如下定义：将点$P$关于直线$x = a$对称得到点$P'$，再将点$P'$关于直线$y = b$对称得到点$Q$，称点$Q$为点$P$关于点$M$的“对应点”. 对于图形$G$给出如下定义：将图形$G$关于直线$x = a$对称得到图形$G'$，再将图形$G'$关于直线$y = b$对称得到图形$W$，称图形$W$为图形$G$关于点$M$的“对应图形”.
如图，已知$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(2,0)$，$B(4,0)$，$C(3,-3)$.
(1)已知点$M(1,1)$.
①由定义知，将点$A$关于直线$x = 1$对称得到点$(0,0)$，再将点$(0,0)$关于直线$y = 1$对称得到点$(0,2)$，则点$A$关于点$M$的“对应点”为点$(0,2)$. 那么，点$B$关于点$M$的“对应点”为点，点$C$关于点$M$的“对应点”为点.
②已知点$P_1(-1,n)$和点$P_2(-1,n + 1)$. 若线段$P_1P_2$关于点$M$的“对应线段”$Q_1Q_2$在$△ ABC$的内部(不含三角形的边)，求$n$的取值范围.
(2)若$y$轴上存在点$D$，使点$D$关于点$M(a,b)$的“对应点”恰好落在$△ ABC$的边上，求点$M$的横坐标$a$的取值范围.
答案：(1)①$(-2,2)$；$(-1,5)$
②$2 ＜ n ＜ 4$
(2)$1 ≤ a ≤ 2$
②$2 ＜ n ＜ 4$
(2)$1 ≤ a ≤ 2$