【例 2】 如图 15.3-3，△ABC 中，AB =
AE，且 AD⊥BC，EF 垂直平分 AC，交
AC 于点 F，交 BC 于点 E. 若△ABC 的周长
为 16，AC = 6，则 DC 的长为().
A. 10
B. 8
C. 6
D. 5
解析 因为△ABC 的周长为 16，所以
AB + BC + AC = 16.
因为 AC = 6，所以 AB + BC = 10.
因为 EF 垂直平分 AC，所以 EA = EC.
因为 AB = AE，且 AD⊥BC，
所以 BD = DE.
所以 AB + BD = AE + DE =$\frac{1}{2}$(AB +
BC) = 5.
所以 DC = DE + EC = DE + AE = 5.
答案 D
总结 在应用等腰三角形“三线合一”
的性质时，一定要把等腰和顶角平分线或底
边中线或底边高线相结合才能使用，所以在
应用时一定要在“因为”中写出满足的两个
条件，才能得出相应的结论.
AE，且 AD⊥BC，EF 垂直平分 AC，交
AC 于点 F，交 BC 于点 E. 若△ABC 的周长
为 16，AC = 6，则 DC 的长为().
A. 10
B. 8
C. 6
D. 5
解析 因为△ABC 的周长为 16，所以
AB + BC + AC = 16.
因为 AC = 6，所以 AB + BC = 10.
因为 EF 垂直平分 AC，所以 EA = EC.
因为 AB = AE，且 AD⊥BC，
所以 BD = DE.
所以 AB + BD = AE + DE =$\frac{1}{2}$(AB +
BC) = 5.
所以 DC = DE + EC = DE + AE = 5.
答案 D
总结 在应用等腰三角形“三线合一”
的性质时，一定要把等腰和顶角平分线或底
边中线或底边高线相结合才能使用，所以在
应用时一定要在“因为”中写出满足的两个
条件，才能得出相应的结论.
答案：D
解析：
∵△ABC周长为16，AC=6，∴AB+BC=16-6=10。
∵EF垂直平分AC，∴EA=EC。
∵AB=AE，AD⊥BC，∴BD=DE（等腰三角形三线合一）。
∵AB=AE=EC，BC=BD+DE+EC=2DE+EC，
∴AB+BC=EC+2DE+EC=2(DE+EC)=2DC。
∴2DC=10，∴DC=5。
∵EF垂直平分AC，∴EA=EC。
∵AB=AE，AD⊥BC，∴BD=DE（等腰三角形三线合一）。
∵AB=AE=EC，BC=BD+DE+EC=2DE+EC，
∴AB+BC=EC+2DE+EC=2(DE+EC)=2DC。
∴2DC=10，∴DC=5。
跟踪练习2 如图 15.3-4，AD，CE
分别是△ABC 的中线和角平分线. 若 AB =
AC，∠CAD =$28^{\circ}$，则∠ACE =().
A.$48^{\circ}$
B.$38^{\circ}$
C.$31^{\circ}$
D.$28^{\circ}$
分别是△ABC 的中线和角平分线. 若 AB =
AC，∠CAD =$28^{\circ}$，则∠ACE =().
A.$48^{\circ}$
B.$38^{\circ}$
C.$31^{\circ}$
D.$28^{\circ}$
答案：C
解析：
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，AD是中线，根据等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC。
∵∠CAD=28°，∴∠BAC=2∠CAD=56°。
在△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=(180°-56°)/2=62°。
∵CE是角平分线，∴∠ACE=∠ACB/2=62°/2=31°。
∵∠CAD=28°，∴∠BAC=2∠CAD=56°。
在△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=(180°-56°)/2=62°。
∵CE是角平分线，∴∠ACE=∠ACB/2=62°/2=31°。
1. 已知等腰三角形的一个内角是$55^{\circ}$，则下列结论正确的是().
A.这个三角形一定是锐角三角形
B.这个三角形可以是钝角三角形
C.这个三角形可以是直角三角形
D.这个三角形可以是等边三角形
A.这个三角形一定是锐角三角形
B.这个三角形可以是钝角三角形
C.这个三角形可以是直角三角形
D.这个三角形可以是等边三角形
答案：A
解析：
当55°为顶角时，底角=(180°-55°)/2=62.5°，三角形三个角为55°、62.5°、62.5°，是锐角三角形；当55°为底角时，顶角=180°-55°×2=70°，三角形三个角为55°、55°、70°，是锐角三角形。综上，该三角形一定是锐角三角形。
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D
是边 BC 的中点，E 是边 AC 上一点，且 AD =
AE. 若∠B =$40^{\circ}$，则∠ADE =().
(第 2 题)
A.$65^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
是边 BC 的中点，E 是边 AC 上一点，且 AD =
AE. 若∠B =$40^{\circ}$，则∠ADE =().
(第 2 题)A.$65^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案：A
解析：
在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，故∠C=∠B=40°，∠BAC=180°-40°-40°=100°。
D是BC中点，由等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，∠CAD=∠BAC/2=50°。
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠CAD=50°，故∠ADE=∠AED=(180°-50°)/2=65°。
D是BC中点，由等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，∠CAD=∠BAC/2=50°。
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠CAD=50°，故∠ADE=∠AED=(180°-50°)/2=65°。
3. 已知 AF 是等腰三角形 ABC 的底边
BC 上的高，若点 F 到直线 AB 的距离为 3，
则点 F 到直线 AC 的距离为().
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
BC 上的高，若点 F 到直线 AB 的距离为 3，
则点 F 到直线 AC 的距离为().
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
答案：C
解析：
由于$AF$是等腰三角形$ABC$的底边$BC$上的高，根据等腰三角形的性质，底边上的高线，垂直平分线，中线重合，所以$F$为$BC$中点，$AB = AC$，$∠ B=∠ C$，$AF$是$∠ BAC$的角平分线（三线合一）。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点$F$到直线$AB$的距离为$3$，因为$AF$是$∠ BAC$的角平分线，所以点$F$到直线$AC$的距离与点$F$到直线$AB$的距离相等，即为$3$。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点$F$到直线$AB$的距离为$3$，因为$AF$是$∠ BAC$的角平分线，所以点$F$到直线$AC$的距离与点$F$到直线$AB$的距离相等，即为$3$。
4. 已知等腰三角形的一边长为 3，另一边
长为 6，则该等腰三角形的周长为.
长为 6，则该等腰三角形的周长为.
答案：15
解析：
分两种情况讨论：
1. 当腰长为3时，三边长分别为3，3，6。因为3+3=6，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形。
2. 当腰长为6时，三边长分别为6，6，3。因为3+6＞6，6+6＞3，满足三角形三边关系，能构成三角形。此时周长为6+6+3=15。
综上，该等腰三角形的周长为15。
1. 当腰长为3时，三边长分别为3，3，6。因为3+3=6，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形。
2. 当腰长为6时，三边长分别为6，6，3。因为3+6＞6，6+6＞3，满足三角形三边关系，能构成三角形。此时周长为6+6+3=15。
综上，该等腰三角形的周长为15。
5. 如图，△ABC 是等腰三角形，AB =
AC，∠BAC =$70^{\circ}$，D 是 BC 的中点.
(1) 求∠C 和∠CAD 的度数；
(2) 若 EA = ED，求证 ED//AB.
（第 5 题）
AC，∠BAC =$70^{\circ}$，D 是 BC 的中点.
(1) 求∠C 和∠CAD 的度数；
(2) 若 EA = ED，求证 ED//AB.
（第 5 题）答案：(1)
因为$AB = AC$，$∠ BAC = 70^{\circ}$，
所以$∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ BAC)=\frac{1}{2}(180 - 70)^{\circ}=55^{\circ}$。
因为$D$是$BC$中点，$AB = AC$，
所以$AD$平分$∠ BAC$，
所以$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC = 35^{\circ}$。
(2)
证明：
因为$∠ BAC = 70^{\circ}$，$AD$平分$∠ BAC$，
所以$∠ BAD = 35^{\circ}$。
因为$EA=ED$，
所以$∠ EAD=∠ EDA = 35^{\circ}$。
所以$∠ EDA=∠ BAD$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$ED// AB$。
因为$AB = AC$，$∠ BAC = 70^{\circ}$，
所以$∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ BAC)=\frac{1}{2}(180 - 70)^{\circ}=55^{\circ}$。
因为$D$是$BC$中点，$AB = AC$，
所以$AD$平分$∠ BAC$，
所以$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC = 35^{\circ}$。
(2)
证明：
因为$∠ BAC = 70^{\circ}$，$AD$平分$∠ BAC$，
所以$∠ BAD = 35^{\circ}$。
因为$EA=ED$，
所以$∠ EAD=∠ EDA = 35^{\circ}$。
所以$∠ EDA=∠ BAD$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$ED// AB$。