● 跟踪练习1 如图15.3 - 12，在等边三角形ABC中，BD = CE，AD与BE相交于点P，则∠APE =()。
A.75°
B.60°
C.45°
D.40°
A.75°
B.60°
C.45°
D.40°
答案：B
解析：
因为三角形ABC是等边三角形，所以AB = BC = AC，∠ABC = ∠ACB = 60°。
在△ABD和△BCE中，AB = BC，∠ABD = ∠BCE，BD = CE，所以△ABD≌△BCE (SAS)。
因此，∠BAD = ∠CBE。
因为∠APE = ∠BAD + ∠ABE，所以∠APE = ∠CBE + ∠ABE = ∠ABC = 60°。
在△ABD和△BCE中，AB = BC，∠ABD = ∠BCE，BD = CE，所以△ABD≌△BCE (SAS)。
因此，∠BAD = ∠CBE。
因为∠APE = ∠BAD + ∠ABE，所以∠APE = ∠CBE + ∠ABE = ∠ABC = 60°。
【例2】下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。
其中是等边三角形的有()。
A.①③
B.①②④
C.①②③
D.①②③④
解析 ①有两个角等于60°，则第三个角也等于60°，是等边三角形；②这是等边三角形的判定中的方法三；③三个外角都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；④根据线段的垂直平分线的性质，可以证明三条边都相等，是等边三角形。
答案 D
总结 等边三角形的判定方法：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。
其中是等边三角形的有()。
A.①③
B.①②④
C.①②③
D.①②③④
解析 ①有两个角等于60°，则第三个角也等于60°，是等边三角形；②这是等边三角形的判定中的方法三；③三个外角都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；④根据线段的垂直平分线的性质，可以证明三条边都相等，是等边三角形。
答案 D
总结 等边三角形的判定方法：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
答案：D
解析：
①：若三角形有两个角等于$60°$，根据三角形内角和为$180°$，则第三个角也为$180° - 60° - 60° = 60°$，三个角都相等，是等边三角形。
②：等腰三角形已至少有两个角相等，若有一个角等于$60°$，若这个角是顶角，则另外两个底角为$(180° - 60°)÷2 = 60°$；若这个角是底角，则顶角为$180° - 2×60° = 60°$，所以三个角都为$60°$，是等边三角形。
③：因为三个外角都相等，三角形外角和为$360°$，则每个外角为$360°÷3 = 120°$，那么对应的每个内角为$180° - 120° = 60°$，三个内角都相等，是等边三角形。
④：一腰上的中线也是这条腰上的高，根据等腰三角形三线合一的逆定理，可知此等腰三角形的腰与底相等，三边都相等的三角形是等边三角形。
②：等腰三角形已至少有两个角相等，若有一个角等于$60°$，若这个角是顶角，则另外两个底角为$(180° - 60°)÷2 = 60°$；若这个角是底角，则顶角为$180° - 2×60° = 60°$，所以三个角都为$60°$，是等边三角形。
③：因为三个外角都相等，三角形外角和为$360°$，则每个外角为$360°÷3 = 120°$，那么对应的每个内角为$180° - 120° = 60°$，三个内角都相等，是等边三角形。
④：一腰上的中线也是这条腰上的高，根据等腰三角形三线合一的逆定理，可知此等腰三角形的腰与底相等，三边都相等的三角形是等边三角形。
● 跟踪练习2 如图15.3 - 13，在△ABC中，AB = BC，∠ABC = 120°，BD ⊥ AC，垂足为E，且BE = DE，试判断△CDB的形状，并说明理由。
答案：△CDB是等边三角形。理由如下：
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠BCA=(180°-120°)/2=30°。
∵BD⊥AC，垂足为E，
∴BE平分∠ABC（等腰三角形三线合一），
∴∠CBE=∠ABC/2=60°，且∠BEC=90°。
∵BE=DE，∠BEC=∠DEC=90°，EC=EC，
∴△BEC≌△DEC（SAS）。
∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=30°。
∴∠BCD=∠BCE+∠DCE=60°。
∵BC=DC，∠BCD=60°，
∴△CDB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠BCA=(180°-120°)/2=30°。
∵BD⊥AC，垂足为E，
∴BE平分∠ABC（等腰三角形三线合一），
∴∠CBE=∠ABC/2=60°，且∠BEC=90°。
∵BE=DE，∠BEC=∠DEC=90°，EC=EC，
∴△BEC≌△DEC（SAS）。
∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=30°。
∴∠BCD=∠BCE+∠DCE=60°。
∵BC=DC，∠BCD=60°，
∴△CDB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。