7. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$∠ BAC ＞ 90^{\circ}$，AB 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 AB 于点 D，AC 的垂直平分线交 BC 于点 G，交 AC 于点 F.当$\bigtriangleup AEG$是等腰三角形时，$∠ B$与$∠ C$不可能有的数量关系是().
A.$∠ B + 2∠ C = 90^{\circ}$
B.$∠ C + 2∠ B = 90^{\circ}$
C.$∠ B = ∠ C$
D.$2∠ C + \frac{3}{2}∠ B = 90^{\circ}$
A.$∠ B + 2∠ C = 90^{\circ}$
B.$∠ C + 2∠ B = 90^{\circ}$
C.$∠ B = ∠ C$
D.$2∠ C + \frac{3}{2}∠ B = 90^{\circ}$
答案：D
解析：
设∠B=x，∠C=y，∠BAC=180°-x-y＞90°，故x+y＜90°。
∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∠BAE=∠B=x，∠AEB=180°-2x，∠AEG=180°-∠AEB=2x。
∵FG垂直平分AC，∴AG=CG，∠CAG=∠C=y，∠AGC=180°-2y，∠AGE=180°-∠AGC=2y。
∠EAG=∠BAC-∠BAE-∠CAG=180°-2x-2y。
△AEG为等腰三角形分三种情况：
1. AE=AG时，∠AEG=∠AGE，即2x=2y，得x=y（∠B=∠C，选项C可能）；
2. AE=EG时，∠EAG=∠AGE，即180°-2x-2y=2y，得x+2y=90°（∠B+2∠C=90°，选项A可能）；
3. AG=EG时，∠EAG=∠AEG，即180°-2x-2y=2x，得y+2x=90°（∠C+2∠B=90°，选项B可能）。
选项D：2∠C + (3/2)∠B=90°无法由上述三种情况推出。
∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∠BAE=∠B=x，∠AEB=180°-2x，∠AEG=180°-∠AEB=2x。
∵FG垂直平分AC，∴AG=CG，∠CAG=∠C=y，∠AGC=180°-2y，∠AGE=180°-∠AGC=2y。
∠EAG=∠BAC-∠BAE-∠CAG=180°-2x-2y。
△AEG为等腰三角形分三种情况：
1. AE=AG时，∠AEG=∠AGE，即2x=2y，得x=y（∠B=∠C，选项C可能）；
2. AE=EG时，∠EAG=∠AGE，即180°-2x-2y=2y，得x+2y=90°（∠B+2∠C=90°，选项A可能）；
3. AG=EG时，∠EAG=∠AEG，即180°-2x-2y=2x，得y+2x=90°（∠C+2∠B=90°，选项B可能）。
选项D：2∠C + (3/2)∠B=90°无法由上述三种情况推出。
8. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，请画出以 A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形 ABCD 的边上，且一边长为 3 的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为 3 的边上标注数字 3.）
备用图 备用图
备用图 备用图
答案：情况1：以A为顶点，腰长为3
顶点：A，P（AB边上，AP=3），Q（AD边上，AQ=3）
标注：AP或AQ边上标注“3”
情况2：以A为底角顶点，AP=PQ=3
顶点：A，P（AB边上，AP=3），Q（BC边上）
标注：AP或PQ边上标注“3”
情况3：以A为底角顶点，AQ=PQ=3（与情况2对称）
顶点：A，Q（AD边上，AQ=3），P（CD边上）
标注：AQ或PQ边上标注“3”
情况4：以A为顶点，底边PQ=3（直角等腰）
顶点：A，P（AB边上），Q（AD边上），AP=AQ，PQ=3
标注：PQ边上标注“3”
情况5：以A为顶点，底边PQ=3（钝角等腰）
顶点：A，P（BC边上），Q（CD边上），AP=AQ，PQ=3
标注：PQ边上标注“3”
情况6：以A为底角顶点，底边AP=3（钝角等腰）
顶点：A，P（AB边上，AP=3），Q（CD边上），AQ=PQ
标注：AP边上标注“3”
（示意图需分别画出以上6种情况，在对应边长为3的边上标注“3”）
顶点：A，P（AB边上，AP=3），Q（AD边上，AQ=3）
标注：AP或AQ边上标注“3”
情况2：以A为底角顶点，AP=PQ=3
顶点：A，P（AB边上，AP=3），Q（BC边上）
标注：AP或PQ边上标注“3”
情况3：以A为底角顶点，AQ=PQ=3（与情况2对称）
顶点：A，Q（AD边上，AQ=3），P（CD边上）
标注：AQ或PQ边上标注“3”
情况4：以A为顶点，底边PQ=3（直角等腰）
顶点：A，P（AB边上），Q（AD边上），AP=AQ，PQ=3
标注：PQ边上标注“3”
情况5：以A为顶点，底边PQ=3（钝角等腰）
顶点：A，P（BC边上），Q（CD边上），AP=AQ，PQ=3
标注：PQ边上标注“3”
情况6：以A为底角顶点，底边AP=3（钝角等腰）
顶点：A，P（AB边上，AP=3），Q（CD边上），AQ=PQ
标注：AP边上标注“3”
（示意图需分别画出以上6种情况，在对应边长为3的边上标注“3”）
9. 如图，直线$a$，$b$相交于点$O$，$∠1 = 48^{\circ}$，$A$是直线$a$上的定点.若$B$是直线$b$上的动点，以点$O$，$A$，$B$为顶点的三角形是等腰三角形，求$∠ OAB$的度数.
答案：24°，48°，66°，84°
解析：
分情况讨论：
情况一：∠AOB=48°（B在∠1同侧）
1. 若OA=OB，则∠OAB=∠OBA，
∠OAB=(180°-48°)/2=66°；
2. 若OA=AB，则∠AOB=∠ABO=48°，
∠OAB=180°-48°-48°=84°；
3. 若OB=AB，则∠OAB=∠AOB=48°。
情况二：∠AOB=132°（B在∠1对侧）
1. 若OA=OB，则∠OAB=∠OBA，
∠OAB=(180°-132°)/2=24°；
2. 若OA=AB或OB=AB，内角和超过180°，舍去。
综上，∠OAB的度数为24°，48°，66°，84°。
情况一：∠AOB=48°（B在∠1同侧）
1. 若OA=OB，则∠OAB=∠OBA，
∠OAB=(180°-48°)/2=66°；
2. 若OA=AB，则∠AOB=∠ABO=48°，
∠OAB=180°-48°-48°=84°；
3. 若OB=AB，则∠OAB=∠AOB=48°。
情况二：∠AOB=132°（B在∠1对侧）
1. 若OA=OB，则∠OAB=∠OBA，
∠OAB=(180°-132°)/2=24°；
2. 若OA=AB或OB=AB，内角和超过180°，舍去。
综上，∠OAB的度数为24°，48°，66°，84°。
1. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC=120^{\circ}$，$D$为$BC$的中点，$DE ⊥ AC$，垂足为$E$，$AE = 2$，求$CE$的长.
答案：6
解析：
连接AD。
∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。
∵D为BC中点，∴AD⊥BC，∠CAD=60°（三线合一）。
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=2AE=4（30°角所对直角边是斜边一半）。
在Rt△ADC中，∠C=30°，∴AC=2AD=8（30°角所对直角边是斜边一半）。
∴CE=AC - AE=8 - 2=6。
∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。
∵D为BC中点，∴AD⊥BC，∠CAD=60°（三线合一）。
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=2AE=4（30°角所对直角边是斜边一半）。
在Rt△ADC中，∠C=30°，∴AC=2AD=8（30°角所对直角边是斜边一半）。
∴CE=AC - AE=8 - 2=6。