2. 如图，在等边三角形$ABC$中，$D$是$AC$的中点，$E$是$BC$延长线上的一点，且$CE = CD$，$DF ⊥ BC$，垂足为$F$，求证：$F$是$BE$的中点.
答案：证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，BC=AC。
∵D是AC中点，
∴CD=1/2AC=1/2BC。设BC=2a，则CD=a。
∵CE=CD，
∴CE=a，故BE=BC+CE=2a+a=3a。
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°。
在Rt△DFC中，∠DCF=60°，
∴∠CDF=30°，
∴FC=1/2CD=1/2a（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）。
∴BF=BC-FC=2a-1/2a=3/2a，
FE=BE-BF=3a-3/2a=3/2a。
∴BF=FE，即F是BE的中点。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，BC=AC。
∵D是AC中点，
∴CD=1/2AC=1/2BC。设BC=2a，则CD=a。
∵CE=CD，
∴CE=a，故BE=BC+CE=2a+a=3a。
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°。
在Rt△DFC中，∠DCF=60°，
∴∠CDF=30°，
∴FC=1/2CD=1/2a（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）。
∴BF=BC-FC=2a-1/2a=3/2a，
FE=BE-BF=3a-3/2a=3/2a。
∴BF=FE，即F是BE的中点。
3. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$CB = CD$，$∠ A = 60^{\circ}$，$E$为$AD$上一点，连接$BD$，$CE$，相交于点$F$，$CE // AB$.
（1）判断$△ DEF$的形状，并说明理由；
（2）若$AD = 24$，$CE = 16$，求$CF$的长.
（1）判断$△ DEF$的形状，并说明理由；
（2）若$AD = 24$，$CE = 16$，求$CF$的长.
答案：（1）等边三角形；（2）8。
解析：
（1）△DEF是等边三角形。理由如下：
∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°。
∵CE//AB，∴∠CED=∠A=60°。
在△DEF中，∠EDF=∠ADB=60°，∠DEF=∠CED=60°，∴∠DFE=60°，∴△DEF是等边三角形。
（2）设DE=EF=DF=x，∵AD=24，∴AE=AD-DE=24-x。
∵AB=AD=24，CB=CD，∴AC垂直平分BD，设AC交BD于O，则BO=OD=12。
∵CE//AB，∴∠FCO=∠BAO，∠COF=∠AOB=90°，∴△COF∽△AOB。
∴CF/AB=OF/OB，即(CE-EF)/AB=(OD-DF)/OB。
∵CE=16，EF=x，OD=12，DF=x，OB=12，AB=24，
∴(16-x)/24=(12-x)/12，解得x=8。
∴CF=CE-EF=16-8=8。
∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°。
∵CE//AB，∴∠CED=∠A=60°。
在△DEF中，∠EDF=∠ADB=60°，∠DEF=∠CED=60°，∴∠DFE=60°，∴△DEF是等边三角形。
（2）设DE=EF=DF=x，∵AD=24，∴AE=AD-DE=24-x。
∵AB=AD=24，CB=CD，∴AC垂直平分BD，设AC交BD于O，则BO=OD=12。
∵CE//AB，∴∠FCO=∠BAO，∠COF=∠AOB=90°，∴△COF∽△AOB。
∴CF/AB=OF/OB，即(CE-EF)/AB=(OD-DF)/OB。
∵CE=16，EF=x，OD=12，DF=x，OB=12，AB=24，
∴(16-x)/24=(12-x)/12，解得x=8。
∴CF=CE-EF=16-8=8。
4. 如图，$△ ABC$是等腰三角形，$AB = AC$. 设$∠ BAC = β$.
（1）如图（1），点$D$在线段$AB$上，若$∠ ACD + ∠ BAC = 45^{\circ}$，求$∠ DCB$的度数（用含$β$的代数式表示）；
（2）如图（2），若$AB = BD$，$∠ ABD + ∠ BAC = 180^{\circ}$，过点$B$作$BH ⊥ AD$，垂足为$H$，求证$BH = \frac{1}{2}BC$.
（1）如图（1），点$D$在线段$AB$上，若$∠ ACD + ∠ BAC = 45^{\circ}$，求$∠ DCB$的度数（用含$β$的代数式表示）；
（2）如图（2），若$AB = BD$，$∠ ABD + ∠ BAC = 180^{\circ}$，过点$B$作$BH ⊥ AD$，垂足为$H$，求证$BH = \frac{1}{2}BC$.
答案：（1）∵AB=AC，∠BAC=β，∴∠ABC=∠ACB=(180°-β)/2=90°-β/2。
∵∠ACD + ∠BAC=45°，∴∠ACD=45°-β。
∵∠ACB=∠ACD + ∠DCB，∴∠DCB=∠ACB - ∠ACD=(90°-β/2)-(45°-β)=45°+β/2。
（2）∵AB=BD，∴△ABD为等腰三角形。
∵BH⊥AD，∴BH平分∠ABD（三线合一），∠AHB=90°。
∵∠ABD + ∠BAC=180°，∠BAC=β，∴∠ABD=180°-β，∠ABH=∠ABD/2=90°-β/2。
∵AB=AC，∠BAC=β，∴∠ABC=(180°-β)/2=90°-β/2，∴∠ABH=∠ABC。
取BC中点M，连接AM，∵AB=AC，∴AM⊥BC，BM=BC/2，∠AMB=90°。
在△ABH和△ABM中，∠AHB=∠AMB=90°，∠ABH=∠ABM，AB=AB，∴△ABH≌△ABM（AAS）。
∴BH=BM=BC/2，即BH=1/2 BC。
∵∠ACD + ∠BAC=45°，∴∠ACD=45°-β。
∵∠ACB=∠ACD + ∠DCB，∴∠DCB=∠ACB - ∠ACD=(90°-β/2)-(45°-β)=45°+β/2。
（2）∵AB=BD，∴△ABD为等腰三角形。
∵BH⊥AD，∴BH平分∠ABD（三线合一），∠AHB=90°。
∵∠ABD + ∠BAC=180°，∠BAC=β，∴∠ABD=180°-β，∠ABH=∠ABD/2=90°-β/2。
∵AB=AC，∠BAC=β，∴∠ABC=(180°-β)/2=90°-β/2，∴∠ABH=∠ABC。
取BC中点M，连接AM，∵AB=AC，∴AM⊥BC，BM=BC/2，∠AMB=90°。
在△ABH和△ABM中，∠AHB=∠AMB=90°，∠ABH=∠ABM，AB=AB，∴△ABH≌△ABM（AAS）。
∴BH=BM=BC/2，即BH=1/2 BC。
5. 如图，过边长为$10$的等边三角形$ABC$的边$AB$上一点$P$，作$PE ⊥ AC$，垂足为$E$，$Q$为$BC$延长线上一点，当$PA = CQ$时，连接$PQ$，交边$AC$于点$D$.
（1）求证：$D$为$PQ$的中点.
（2）求$DE$的长.
（1）求证：$D$为$PQ$的中点.
（2）求$DE$的长.
答案：（1）证明：过点P作PF//BC交AC于F。
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°。
∵PF//BC，∴∠AFP=∠ACB=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF。
∵AP=CQ，∴PF=CQ。
∵PF//BC，∴∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD。
在△PFD和△QCD中，
∠FPD=∠Q，
PF=CQ，
∠PFD=∠QCD，
∴△PFD≌△QCD（ASA），∴PD=DQ，即D为PQ中点。
（2）解：∵PE⊥AC，△APF是等边三角形，∴AE=EF=AP/2（三线合一）。
设AP=CQ=x，则AF=AP=x，∴AE=EF=x/2。
∵AC=10，∴FC=AC - AF=10 - x。
由（1）△PFD≌△QCD得FD=DC，∴DC=FC/2=(10 - x)/2。
∴DE=EF + FD=x/2 + (10 - x)/2=5。
故DE的长为5。
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°。
∵PF//BC，∴∠AFP=∠ACB=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF。
∵AP=CQ，∴PF=CQ。
∵PF//BC，∴∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD。
在△PFD和△QCD中，
∠FPD=∠Q，
PF=CQ，
∠PFD=∠QCD，
∴△PFD≌△QCD（ASA），∴PD=DQ，即D为PQ中点。
（2）解：∵PE⊥AC，△APF是等边三角形，∴AE=EF=AP/2（三线合一）。
设AP=CQ=x，则AF=AP=x，∴AE=EF=x/2。
∵AC=10，∴FC=AC - AF=10 - x。
由（1）△PFD≌△QCD得FD=DC，∴DC=FC/2=(10 - x)/2。
∴DE=EF + FD=x/2 + (10 - x)/2=5。
故DE的长为5。