6. 如图，在等边三角形$ABC$中，$P$是线段$AB$上的动点（与点$A$，$B$不重合），点$D$在$CB$的延长线上，且$PC = PD$.
（1）如图（1），若$P$是$AB$的中点，求证$BD = AP$.
（2）如图（2），若$P$不是$AB$的中点，
（1）中的结论“$BD = AP$”是否成立？若不成立，请直接写出$BD$与$AP$的数量关系；若成立，请证明.
（1）如图（1），若$P$是$AB$的中点，求证$BD = AP$.
（2）如图（2），若$P$不是$AB$的中点，
（1）中的结论“$BD = AP$”是否成立？若不成立，请直接写出$BD$与$AP$的数量关系；若成立，请证明.
答案：（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，P是AB中点，
∴AP=PB，∠ACB=60°，CP平分∠ACB，
∴∠BCP=30°．
∵PC=PD，∴∠PDC=∠PCD=30°．
在△PBD中，∠PBD=180°-∠ABC=120°，
∴∠BPD=180°-∠PBD-∠PDC=30°，
∴∠BPD=∠PDC，∴PB=BD．
∵AP=PB，∴BD=AP．
（2）成立．
证明：过P作PE//AC交BC于E，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵PE//AC，∴∠PEB=∠ACB=60°，∠EPB=∠BAC=60°，
∴△PEB是等边三角形，∴PE=PB=BE，∠PEB=60°，∠PEC=120°．
∵PC=PD，∴∠PCD=∠PDC．
∵∠PBD=180°-∠ABC=120°，∴∠PEC=∠PBD．
∵∠EPC=180°-∠PEC-∠PCE=60°-∠PCE，
∠DPB=∠ABC-∠PDC=60°-∠PCE，
∴∠EPC=∠DPB．
在△PEC和△PBD中，
$\begin{cases} ∠PEC=∠PBD \\ PE=PB \\ ∠EPC=∠DPB \end{cases}$，
∴△PEC≌△PBD（ASA），∴EC=BD．
∵EC=BC-BE=AB-PB=AP，∴BD=AP．
∵△ABC是等边三角形，P是AB中点，
∴AP=PB，∠ACB=60°，CP平分∠ACB，
∴∠BCP=30°．
∵PC=PD，∴∠PDC=∠PCD=30°．
在△PBD中，∠PBD=180°-∠ABC=120°，
∴∠BPD=180°-∠PBD-∠PDC=30°，
∴∠BPD=∠PDC，∴PB=BD．
∵AP=PB，∴BD=AP．
（2）成立．
证明：过P作PE//AC交BC于E，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵PE//AC，∴∠PEB=∠ACB=60°，∠EPB=∠BAC=60°，
∴△PEB是等边三角形，∴PE=PB=BE，∠PEB=60°，∠PEC=120°．
∵PC=PD，∴∠PCD=∠PDC．
∵∠PBD=180°-∠ABC=120°，∴∠PEC=∠PBD．
∵∠EPC=180°-∠PEC-∠PCE=60°-∠PCE，
∠DPB=∠ABC-∠PDC=60°-∠PCE，
∴∠EPC=∠DPB．
在△PEC和△PBD中，
$\begin{cases} ∠PEC=∠PBD \\ PE=PB \\ ∠EPC=∠DPB \end{cases}$，
∴△PEC≌△PBD（ASA），∴EC=BD．
∵EC=BC-BE=AB-PB=AP，∴BD=AP．
1. 如图，一条笔直的河 $ l $，牧马人从 $ P $ 地出发，到河边 $ M $ 处饮马，然后到 $ Q $ 地. 在下列四种选择饮马处的方案中，牧马人所走路径最短的是().
答案：C
解析：
本题可根据对称点的性质，通过比较各选项中$P$到$Q$的路径长度来确定最短路径。
利用对称点求解最短路径的原理是：两点之间线段最短。
选项A：直接连接$P$，$Q$，$PQ$与河$l$的交点不能直接确定为饮马点，因为这不是利用对称点找到的最短路径，此时路径不是最短的。
选项B：该选项同样没有利用对称点来确定饮马点，所走路径不是最短路径。
选项C：作点$P$关于河$l$的对称点$P'$，连接$P'Q$，与河$l$的交点$M$即为饮马点，此时牧马人所走路径$PM + MQ=P'M + MQ = P'Q$，根据两点之间线段最短，可知此时路径最短。
选项D：此选项所确定的饮马点并不能使所走路径最短。
利用对称点求解最短路径的原理是：两点之间线段最短。
选项A：直接连接$P$，$Q$，$PQ$与河$l$的交点不能直接确定为饮马点，因为这不是利用对称点找到的最短路径，此时路径不是最短的。
选项B：该选项同样没有利用对称点来确定饮马点，所走路径不是最短路径。
选项C：作点$P$关于河$l$的对称点$P'$，连接$P'Q$，与河$l$的交点$M$即为饮马点，此时牧马人所走路径$PM + MQ=P'M + MQ = P'Q$，根据两点之间线段最短，可知此时路径最短。
选项D：此选项所确定的饮马点并不能使所走路径最短。
2. 如图，已知点 $ A $ 和点 $ B $ 在直线 $ l $ 同一侧. 求作：直线 $ l $ 上一点 $ Q $，使 $ QA + QB $ 的值最小.
答案：1. 作点 A 关于直线 l 的对称点 A'；
2. 连接 A'B，交直线 l 于点 Q；
3. 点 Q 即为所求作的点。
2. 连接 A'B，交直线 l 于点 Q；
3. 点 Q 即为所求作的点。
3. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ BC = 6 $，面积是 $ 30 $，$ AC $ 的垂直平分线 $ EF $ 分别交边 $ AC $，$ AB $ 于点 $ E $，$ F $. 若 $ D $ 为边 $ BC $ 的中点，$ M $ 为线段 $ EF $ 上一个动点，则 $ △ CDM $ 周长的最小值为().
A.$ 6 $
B.$ 12 $
C.$ 13 $
D.$ 20 $
A.$ 6 $
B.$ 12 $
C.$ 13 $
D.$ 20 $
答案：C
解析：
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=CD=3。
∵△ABC面积=30，BC=6，∴1/2×BC×AD=30，即1/2×6×AD=30，解得AD=10。
∵EF是AC的垂直平分线，∴M在EF上时，MA=MC。
△CDM周长=CD+DM+MC=3+DM+MA，要使周长最小，需DM+MA最小。
当M为AD与EF的交点时，DM+MA=AD=10（两点之间线段最短）。
∴△CDM周长最小值=3+10=13。
∵△ABC面积=30，BC=6，∴1/2×BC×AD=30，即1/2×6×AD=30，解得AD=10。
∵EF是AC的垂直平分线，∴M在EF上时，MA=MC。
△CDM周长=CD+DM+MC=3+DM+MA，要使周长最小，需DM+MA最小。
当M为AD与EF的交点时，DM+MA=AD=10（两点之间线段最短）。
∴△CDM周长最小值=3+10=13。