7. 已知 $m = 2^{14}$, $n = 27^5$, $p = 9^7$，则 $m, n, p$ 的大小关系是()。
A.$m ＞ n ＞ p$
B.$m ＞ p ＞ n$
C.$m ＜ n ＜ p$
D.$n ＞ p ＞ m$
A.$m ＞ n ＞ p$
B.$m ＞ p ＞ n$
C.$m ＜ n ＜ p$
D.$n ＞ p ＞ m$
答案：D
解析：
将各数转化为同底数幂或同指数幂比较。
n=27⁵=(3³)⁵=3¹⁵，p=9⁷=(3²)⁷=3¹⁴，m=2¹⁴。
因为3¹⁵＞3¹⁴＞2¹⁴，所以n＞p＞m。
n=27⁵=(3³)⁵=3¹⁵，p=9⁷=(3²)⁷=3¹⁴，m=2¹⁴。
因为3¹⁵＞3¹⁴＞2¹⁴，所以n＞p＞m。
8. 已知 $9^m × 3^n = 243$，则 $2m + n - 4$ 的值为。
答案：1
解析：
因为$9^m = (3^2)^m = 3^{2m}$，所以$9^m×3^n = 3^{2m}×3^n = 3^{2m + n}$。又因为$243 = 3^5$，所以$3^{2m + n} = 3^5$，则$2m + n = 5$。因此$2m + n - 4 = 5 - 4 = 1$。
9. （跨学科融合）课上，同学们一起利用球的体积公式 $V = \frac{4}{3} π r^3$ 计算出地球的体积约是 $1.08 × 10^{12}$ km³，接着老师问道：“太阳的半径约是地球的 $10^2$ 倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢？”你能迅速求出结果吗？
答案：设地球半径为 $r$，则地球体积 $V_{\mathrm{地球}} = \frac{4}{3} π r^3 = 1.08 × 10^{12} \, \mathrm{km}^3$。
太阳半径为 $10^2 r = 100r$。
太阳体积 $V_{\mathrm{太阳}} = \frac{4}{3} π (100r)^3$。
利用幂的乘方运算法则，$(100r)^3 = 100^3 × r^3 = 10^6 × r^3$。
代入地球体积公式，$V_{\mathrm{太阳}} = \frac{4}{3} π × 10^6 × r^3 = 10^6 × ( \frac{4}{3} π r^3 ) = 10^6 × 1.08 × 10^{12}$。
利用同底数幂的乘法运算法则，$10^6 × 10^{12} = 10^{6+12} = 10^{18}$。
因此，$V_{\mathrm{太阳}} = 1.08 × 10^{18} \, \mathrm{km}^3$。
太阳半径为 $10^2 r = 100r$。
太阳体积 $V_{\mathrm{太阳}} = \frac{4}{3} π (100r)^3$。
利用幂的乘方运算法则，$(100r)^3 = 100^3 × r^3 = 10^6 × r^3$。
代入地球体积公式，$V_{\mathrm{太阳}} = \frac{4}{3} π × 10^6 × r^3 = 10^6 × ( \frac{4}{3} π r^3 ) = 10^6 × 1.08 × 10^{12}$。
利用同底数幂的乘法运算法则，$10^6 × 10^{12} = 10^{6+12} = 10^{18}$。
因此，$V_{\mathrm{太阳}} = 1.08 × 10^{18} \, \mathrm{km}^3$。
10. 【阅读材料】$3^1$ 的末尾数字是 3，$3^2$ 的末尾数字是 9，$3^3$ 的末尾数字是 7，$3^4$ 的末尾数字是 1，$3^5$ 的末尾数字是 3，……
寻找规律：
$3^{4n+1} = (3^4)^n × 3$，
因为 $3^4$ 的末尾数字是 1，
所以 $(3^4)^n$ 的末尾数字是 1，
所以 $(3^4)^n × 3$ 的末尾数字是 3。
同理，$3^{4n+2}$ 的末尾数字是 9，$3^{4n+3}$ 的末尾数字是 7。
根据以上材料，解答下列问题：
(1) 求 $3^{2026}$ 和 $14^{2026}$ 的末尾数字；
(2) 求 $2^{2028}$ 的末尾数字；
(3) 求 $12^{2024} + 37^{2026}$ 的末尾数字。
寻找规律：
$3^{4n+1} = (3^4)^n × 3$，
因为 $3^4$ 的末尾数字是 1，
所以 $(3^4)^n$ 的末尾数字是 1，
所以 $(3^4)^n × 3$ 的末尾数字是 3。
同理，$3^{4n+2}$ 的末尾数字是 9，$3^{4n+3}$ 的末尾数字是 7。
根据以上材料，解答下列问题：
(1) 求 $3^{2026}$ 和 $14^{2026}$ 的末尾数字；
(2) 求 $2^{2028}$ 的末尾数字；
(3) 求 $12^{2024} + 37^{2026}$ 的末尾数字。
答案：(1)9，6；(2)6；(3)5。
解析：
(1)对于$3^{2026}$：
$2026÷4=506······2$，即$2026=4×506+2$，根据规律$3^{4n+2}$的末尾数字是9，故$3^{2026}$的末尾数字是9。
对于$14^{2026}$：其末尾数字由$4^{2026}$决定。$4^1=4$，$4^2=16$，$4^3=64$，$4^4=256$，规律为4，6循环，周期2。$2026$为偶数，故$4^{2026}$末尾数字是6，即$14^{2026}$的末尾数字是6。
(2)$2^{2028}$：$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$，规律为2，4，8，6循环，周期4。$2028÷4=507$，整除，故$2^{2028}$的末尾数字是6。
(3)$12^{2024}$的末尾数字由$2^{2024}$决定，$2024÷4=506$，整除，末尾数字是6；$37^{2026}$的末尾数字由$7^{2026}$决定，$7^1=7$，$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401$，规律为7，9，3，1循环，周期4。$2026÷4=506······2$，末尾数字是9。$6+9=15$，故$12^{2024}+37^{2026}$的末尾数字是5。
$2026÷4=506······2$，即$2026=4×506+2$，根据规律$3^{4n+2}$的末尾数字是9，故$3^{2026}$的末尾数字是9。
对于$14^{2026}$：其末尾数字由$4^{2026}$决定。$4^1=4$，$4^2=16$，$4^3=64$，$4^4=256$，规律为4，6循环，周期2。$2026$为偶数，故$4^{2026}$末尾数字是6，即$14^{2026}$的末尾数字是6。
(2)$2^{2028}$：$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$，规律为2，4，8，6循环，周期4。$2028÷4=507$，整除，故$2^{2028}$的末尾数字是6。
(3)$12^{2024}$的末尾数字由$2^{2024}$决定，$2024÷4=506$，整除，末尾数字是6；$37^{2026}$的末尾数字由$7^{2026}$决定，$7^1=7$，$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401$，规律为7，9，3，1循环，周期4。$2026÷4=506······2$，末尾数字是9。$6+9=15$，故$12^{2024}+37^{2026}$的末尾数字是5。