【例3】计算：
(1) $-(3m^2nh^3)^3$；
(2) $-(-2^2a^2b^4)^3$；
(3) $(-ab)^5 · (-ab)^7$；
(4) $(-3a^2)^3 + (2a^3)^2$。
解 (1) 原式 $= -3^3 · (m^2)^3 · n^3 · (h^3)^3 = -27m^6n^3h^9$；
(2) 原式 $= -(-2^2)^3 · (a^2)^3 · (b^4)^3 = 64a^6b^{12}$；
(3) 原式 $= (-a)^5 · b^5 · (-a)^7 · b^7 = (-a)^{5+7} · b^{5+7} = a^{12}b^{12}$；
(4) 原式 $= (-3)^3 · (a^2)^3 + 2^2 · (a^3)^2 = -27a^6 + 4a^6 = -23a^6$。
总结 解决此类混合运算时，先根据幂的乘方与积的乘方进行运算，然后根据同底数幂的乘法进行运算，再合并同类项。
(1) $-(3m^2nh^3)^3$；
(2) $-(-2^2a^2b^4)^3$；
(3) $(-ab)^5 · (-ab)^7$；
(4) $(-3a^2)^3 + (2a^3)^2$。
解 (1) 原式 $= -3^3 · (m^2)^3 · n^3 · (h^3)^3 = -27m^6n^3h^9$；
(2) 原式 $= -(-2^2)^3 · (a^2)^3 · (b^4)^3 = 64a^6b^{12}$；
(3) 原式 $= (-a)^5 · b^5 · (-a)^7 · b^7 = (-a)^{5+7} · b^{5+7} = a^{12}b^{12}$；
(4) 原式 $= (-3)^3 · (a^2)^3 + 2^2 · (a^3)^2 = -27a^6 + 4a^6 = -23a^6$。
总结 解决此类混合运算时，先根据幂的乘方与积的乘方进行运算，然后根据同底数幂的乘法进行运算，再合并同类项。
答案：(1) 原式$=-3^3·(m^2)^3· n^3·(h^3)^3=-27m^6n^3h^9$；
(2) 原式$=-(-2^2)^3·(a^2)^3·(b^4)^3=-(-4)^3· a^6· b^{12}=-(-64)a^6b^{12}=64a^6b^{12}$；
(3) 原式$=(-ab)^{5+7}=(-ab)^{12}=a^{12}b^{12}$；
(4) 原式$=(-3)^3·(a^2)^3+2^2·(a^3)^2=-27a^6 + 4a^6=-23a^6$。
(2) 原式$=-(-2^2)^3·(a^2)^3·(b^4)^3=-(-4)^3· a^6· b^{12}=-(-64)a^6b^{12}=64a^6b^{12}$；
(3) 原式$=(-ab)^{5+7}=(-ab)^{12}=a^{12}b^{12}$；
(4) 原式$=(-3)^3·(a^2)^3+2^2·(a^3)^2=-27a^6 + 4a^6=-23a^6$。
• 跟踪练习3 如果 $(a^m b b^n)^3 = a^6 b^{15}$，那么 $m, n$ 的值分别是()。
A.3, 5
B.3, -5
C.2, 5
D.2, 4
A.3, 5
B.3, -5
C.2, 5
D.2, 4
答案：D
解析：
根据题意有 $(a^m b · b^n)^3 = a^6 b^{15}$，
首先对左边表达式进行化简：
$a^m b · b^n = a^m b^{1+n}$，
所以 $(a^m b^{1+n})^3 = a^{3m} b^{3(1+n)}$，
即 $a^{3m} b^{3+3n} = a^6 b^{15}$，
根据同底数幂相等，则指数相等，有：
$3m = 6$，
$3 + 3n = 15$，
解得 $m = 2$，$n = 4$。
【例4】计算 $(-\frac{1}{2})^{2025} × (-2)^{2026} = $。
解析 $(-\frac{1}{2})^{2025} × (-2)^{2026}$
$= (-\frac{1}{2})^{2025} × (-2)^{2025} × (-2)$
$= [(-\frac{1}{2}) × (-2)]^{2025} × (-2)$
$= 1^{2025} × (-2) = 1 × (-2) = -2$。
答案 -2
总结 逆用积的乘方时，关键是观察指数的特点，然后将两个底数巧妙地结合在一起，从而达到简便计算的目的。
解析 $(-\frac{1}{2})^{2025} × (-2)^{2026}$
$= (-\frac{1}{2})^{2025} × (-2)^{2025} × (-2)$
$= [(-\frac{1}{2}) × (-2)]^{2025} × (-2)$
$= 1^{2025} × (-2) = 1 × (-2) = -2$。
答案 -2
总结 逆用积的乘方时，关键是观察指数的特点，然后将两个底数巧妙地结合在一起，从而达到简便计算的目的。
答案：-2。
解析：
$(-\frac{1}{2})^{2025} × (-2)^{2026}$
$= (-\frac{1}{2})^{2025} × (-2)^{2025} × (-2)$
$= [ ( -\frac{1}{2} ) × (-2) ]^{2025} × (-2)$
$= 1^{2025} × (-2)$
$= 1 × (-2)$
$= -2$
$= (-\frac{1}{2})^{2025} × (-2)^{2025} × (-2)$
$= [ ( -\frac{1}{2} ) × (-2) ]^{2025} × (-2)$
$= 1^{2025} × (-2)$
$= 1 × (-2)$
$= -2$
• 跟踪练习4 计算 $(\frac{5}{7})^{2024} × (\frac{7}{5})^{2025} × (-1)^{2026}$ 的结果是()。
A.$\frac{5}{7}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$-\frac{5}{7}$
D.$-\frac{7}{5}$
A.$\frac{5}{7}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$-\frac{5}{7}$
D.$-\frac{7}{5}$
答案：B
解析：
根据题意，计算：
$(\frac{5}{7})^{2024} × (\frac{7}{5})^{2025} × (-1)^{2026}$
$=(\frac{5}{7})^{2024} × (\frac{7}{5})^{2024} × \frac{7}{5} × 1$
$=(\frac{5}{7} × \frac{7}{5})^{2024} × \frac{7}{5}$
$=1^{2024} × \frac{7}{5}$
$=\frac{7}{5}$
1. 已知 $a^m = 3$，则 $a^{3m}$ 的值为()。
A.3
B.9
C.27
D.81
A.3
B.9
C.27
D.81
答案：C
解析：
根据题意，已知 $a^m = 3$，需要求 $a^{3m}$ 的值。利用幂的乘方性质，$a^{3m} = (a^m)^3$。将已知 $a^m = 3$ 代入，得 $a^{3m} = 3^3 = 27$。
2. 下列各式中，结果为 $x^8$ 的是()。
A.$(x^4)^4$
B.$x^2 · x^4$
C.$2x^8 - x^8$
D.$x^4 + x^4$
A.$(x^4)^4$
B.$x^2 · x^4$
C.$2x^8 - x^8$
D.$x^4 + x^4$
答案：C
解析：
A. $(x^4)^4 = x^{4 × 4} = x^{16}$，结果不是$x^8$；
B. $x^2 · x^4 = x^{2+4} = x^6$，结果不是$x^8$；
C. $2x^8 - x^8 = (2-1)x^8 = x^8$，结果是$x^8$；
D. $x^4 + x^4 = 2x^4$，结果不是$x^8$。
3. 计算 $(-2a)^3$ 的结果是()。
A.$-4a^2$
B.$8a^3$
C.$2a^2$
D.$-8a^3$
A.$-4a^2$
B.$8a^3$
C.$2a^2$
D.$-8a^3$
答案：D
解析：
根据积的乘方运算法则，$(ab)^n=a^nb^n$，对于$(-2a)^3$，可将$(-2a)$看作$-2$与$a$的乘积，则$(-2a)^3=(-2)^3× a^3$。
因为$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)= - 8$，所以$(-2a)^3=-8a^3$。
因为$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)= - 8$，所以$(-2a)^3=-8a^3$。
4. 计算 $(\frac{1}{8})^{675} × (-2)^{2026}$ 的结果是()。
A.2
B.4
C.6
D.8
A.2
B.4
C.6
D.8
答案：A
解析：
$(\frac{1}{8})^{675}×(-2)^{2026}=(2^{-3})^{675}×2^{2026}=2^{-2025}×2^{2026}=2^{-2025+2026}=2^1=2$
5. 若 $3m + 2n - 7 = 0$，则 $8^m × 4^n = $()。
A.256
B.128
C.64
D.32
A.256
B.128
C.64
D.32
答案：B
解析：
由$3m + 2n - 7 = 0$可得$3m + 2n = 7$。
将$8^m × 4^n$化为同底数幂：$8^m = (2^3)^m = 2^{3m}$，$4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$，
因此$8^m × 4^n = 2^{3m} × 2^{2n} = 2^{3m + 2n} = 2^7 = 128$。
将$8^m × 4^n$化为同底数幂：$8^m = (2^3)^m = 2^{3m}$，$4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$，
因此$8^m × 4^n = 2^{3m} × 2^{2n} = 2^{3m + 2n} = 2^7 = 128$。
6. 计算：
(1) $(-3m^3n)^2$；
(2) $(-\frac{1}{3}a^3b^2)^3$；
(3) $(x^3)^5 · x^4$；
(4) $(-\frac{1}{3} × 10^4)^5$。
(1) $(-3m^3n)^2$；
(2) $(-\frac{1}{3}a^3b^2)^3$；
(3) $(x^3)^5 · x^4$；
(4) $(-\frac{1}{3} × 10^4)^5$。
答案：(1) $(-3m^3n)^2 = (-3)^2 · (m^3)^2 · n^2 = 9m^6n^2$；
(2) $(-\frac{1}{3}a^3b^2)^3 = (-\frac{1}{3})^3 · (a^3)^3 · (b^2)^3 = -\frac{1}{27}a^9b^6$；
(3) $(x^3)^5 · x^4 = x^{15} · x^4 = x^{19}$；
(4) $(-\frac{1}{3} × 10^4)^5 = (-\frac{1}{3})^5 · (10^4)^5 = -\frac{1}{243} × 10^{20} = -\frac{10^{20}}{243}$。
(2) $(-\frac{1}{3}a^3b^2)^3 = (-\frac{1}{3})^3 · (a^3)^3 · (b^2)^3 = -\frac{1}{27}a^9b^6$；
(3) $(x^3)^5 · x^4 = x^{15} · x^4 = x^{19}$；
(4) $(-\frac{1}{3} × 10^4)^5 = (-\frac{1}{3})^5 · (10^4)^5 = -\frac{1}{243} × 10^{20} = -\frac{10^{20}}{243}$。